Размерность расчетная

равновесия и устойчивого периодического движения. Следующий шаг состоит в изучении зависимости особых точек и периодических движений от параметров, в изучении того, как происходит переход от одного типа особой точки или периодического движения к другому, как они возникают и исчезают. Эти изменения и переходы при непрерывном и монотонном изменении параметра происходят не постепенно, а скачком при прохождении через отдельные значения параметра. Эти скачкообразные изменения называются бифуркациями, а значения параметра, при которых они происходят, — бифуркационными. Для изучения бифуркаций и множества бифуркационных значений параметров целесообразно ввести в рассмотрение пространство параметров динамической системы. В простейшем случае пространство параметров — это одномерная прямая с некоторым множеством бифуркационных точек. Интервалы, лежащие между бифуркационными точками, соответствуют неизменности типа состояния равновесия или периодического движения. В более общем случае это многомерное пространство параметров, разбито на области некоторым множеством бифуркационных поверхностей, размерности на единицу меньшей, чем размерность пространства. Каждой точке этого пространства параметров соответствует конкретная динамическая система. Некоторые из областей, на которые разбивается пространство параметров бифуркационными поверхностями, соответствуют наличию у динамической системы устойчивого состояния равновесия или периодического движения.

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях Мш и N0. Поверхность Na не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двояко-асимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для vroro требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S,,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности N0 происходит слияние состояний равновесия О"-" и О*1- ?~( Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"-" проходят интегральные многообразия Sp и SQ и через точку Qp+i.q-i — интегральные многообразия Sp+l и 8^г. Пересечение многообразий SQ и Sj,+l является общим. В силу того, что на поверхности N0 состояния равновесия Ор-« и о**1''"1 сливаются, до момента этого слияния поверхности S, и Sp+l в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо-

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами «почти целиком» имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка «почти» не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их

Название элемента Графическое представление Количество узлов Размерность пространства Степени свободы

По результатам дисперсионного анализа и данным матрицы планирования экспериментов, пользуясь, например, методом наименьших квадратов, можно построить корреляционную зависимость Ф (а) в виде полинома, содержащего линейные члены и парные сочетания табл. 2. Основываясь на результатах табл. 2, можно также построить функцию, аппроксимирующую поверхность заданной функции цели Ф (а). В этом случае построенная зависимость будет носить более простой и достоверный характер по сравнению с аналогичным выражением, построенным для исходной размерности пространства исследуемых параметров, по следующим причинам: 1) размерность пространства поиска значительно сокращена (например, в данной задаче от г = 6 можно перейти к г = 2); 2) учитываются наиболее существенные парные взаимодействия типа «jOCy-; 3) с учетом первой и второй причин аппроксимация будет производиться на более «гладких» участках поверхности функции цели.

Данные табл. 3 показывают, сколь значительно повышается эффективность дальнейшего применения поисковых методов, в том числе и ЛП-поиска, если на начальном этапе решения задачи оптимального проектирования использовать описанный прием определения существенных и несущественных параметров. В частности, в результате использования предварительно спланированных экспериментов удалось существенно снизить размерность пространства поиска оптимальных решений при одновременном отыскании в среднем более высоких значений функции цели.

При этом размерностью представления называется размерность пространства. Напомним, что линейным пространством п измерений, натянутым на конечную систему п векторов аъ а2, . . ., а„, называется множество L всех л-мерных векторов, являющихся линейными комбинациями векторов аь ос2, . . ., ап.

где 'ps;, ps/, ps(,= const — весовые коэффициенты; PO/, PO/, РО<-/ = = consit —- пороги; v(t,,+ Tn) — оценка проекции вектора v на конец интервала дискретности (экстраполяция, соответствующая режимному локальному алгоритму управления); т — размерность пространства состояний объекта.

Представляется целесообразным на «дебютной стадии» [1] решения многомерной задачи (г^4) попытаться снизить размерность пространства поиска оптимальных решений за счет выявления несущественных («вредных» [2]) параметров. Также целесообразно попытаться определить в пространстве изменения параметров подобласти, соответствующие, с определенной степенью вероятности, унимодальным участкам поверхности Ф(а). Достигнутые в этом случае положительные результаты в реальных задачах проектирования имеют не меньшее значение, чем отыскание глобального экстремума. При этом существенно повышается эффективность дальнейшего поиска экстремумов, под которой в данном случае понимаются не только затраты машинного времени, но и возможность корректного построения упрощенных математических моделей в выделенных подобластях.

Кроме того, высокая размерность пространства поиска (г может доходить до нескольких сотен) создает объективные трудности при корректном задании границ области поиска G (а). Это также приводит к значительному увеличению объема испытаний при моделировании на ЦВМ или АВМ.

где ф?7 — значения всех целевых функций для модели а3 (/ = = 1,2,. . . , N), стоящей в q-ж столбце (q = 1, 2,. . . ) матрицы Ак; а3 = (а{, aj,. . ., а?), г — размерность пространства исследуемых параметров аг (/ = 1,2,. . . , г).

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или указания по выбору

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или указания по выбору

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула «ли указания по выбору

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или указания по выбору для ремней

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или указание по выбору для ремней

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или указания по выбору

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или \ указания по выбору

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или указания по выбору

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или указания по выбору для ремней

Определяемая величина Обозначение и размерность Расчетная формула или указания по выбору для ремней

Определяемое свойство Размерность Расчетная формула Обозначения применяемых в формулах аддитивных констант У и Si Точность расчета в % (±)