Разностное исчисление

Для решения задачи распределения температуры в поперечном сечении лопатки при ЭЛН использован принцип тепловой суперпозиции и локально-одномерный метод, позволяющий свести двухмерную задачу к совокупности одномерных. При аппроксимации криволинейных границ использовали комбинированный метод определения конформных координат, включающий метод граничных элементов и метод циклической редукции. На основе конечно-разностной аппроксимации на ортогональных сетках построен алгоритм решения задачи» реализованный в виде компьютерной программы. При использовании программы задается топология области решения, теплофизические свойства материала в виде табличных зависимостей от температуры, сеточные параметры, граничные условия как функции координат, времени и температуры. Процесс напыления состоит из двух этапов: предварительного обогрева лопатки и напыления» в процессе которых лопатка вращается с постоянной угловой скоростью и через интервьл времени, ровный половине оборота происходит изменение граничных условий. Эти условия учитывали в расчетах изменяемыми удельными потоками и функцией, описывающей распределение мощности поток." электронов вдоль нагреваемой поверхности лопатки. По результатам расчета построены иаотермы о продольных и поперечных сечениях направлявшей лопатки ГТЭ — 150 м рабочей лопатки ТВД I ступени турбины ГТ-100 и сделаны выводы, что изменяя характер тепловых потоков можно добиться снижения' перепада темиературы на поверхности лопатки. Ток для тепловых потоков, реализованных в виде кусочно-линейной функции, значение температуры по всему контуру исследуемых лопаток после 18 мин. (ГТЭ 150) и 15 мин. (ГТ-100) нагрева достигло уровня, при котором можно производить напыление.

В пятой главе рассматриваются методы реализации простейшей модели конвективного теплообмена, заключающейся в решении уравнения энергии при заданном поле скоростей. Обсуждаются особенности конечно-разностной аппроксимации конвективных членов в уравнении энергии. Подробно разбираются численные схемы для двух часто встречающихся на практике задач: расчет двумерного стационарного температурного поля жидкости при течении в канале и совместный расчет одномерного температурного поля стенки и жидкости.

Граничные условия на стенке канала находятся согласно конечно-разностной аппроксимации следующего уравнения [13]:

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получим систему дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением, так как при конечно-разностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание кондуктивного процесса. Однако обычно такой прием частичной замены производных конечными разностями, 44

известный как метод прямых, используется для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования [25]. Отметим, что такая же система обыкновенных дифференциальных уравнений получается из условий баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [12, 20]. Выделим в области V, занятой неоднородным анизотропным телом сложной формы (см. § 2.4), М узловых точек Рт & V, т-1;М. Температурное состояние тела будем характеризовать вектором Т = (Tm(t)}M размерности М, компоненты которого представляют собой искомые зависимости Tm(f) от времени t температур выделенных узловых точек. После конечно-разностной аппроксимации в (2.36), (2.38) и (2.40) производных по пространственным координатам получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений [12]

Из большой группы способов интегрирования системы (2.51) остановимся на использовании наиболее простых двухслойных и трехслойной схем. При конечно-разностной аппроксимации Т на /с-м интервале времени Atk = tk - tfc_j получим двухслойную схему

При конечно-разностной аппроксимации Т в (2.51) на сдвоенном интервале времени 2At = tk - tk_2 при условии fjt-i = (tk + + tk_2)/2 получим трехслойную схему

Анализ показал влияние на решение так называемой «счетной теплопроводности», являющейся следствием одностороннего представления первых производных в уравнении энергии. Отбрасываемая добавка при разностной аппроксимации первого порядка точности имеет смысл дополнительного диффузионного переноса. Влияние счетной теплопроводности на численный результат было определено при применении в качестве теста чисто противоточного теплообменника, для которого известно аналитическое решение.

которое аналогично дифференциально-разностной аппроксимации уравнения (1.5), записанного для узловой точки сетки, с помощью которой исследуемое тело разбивается на элементарные объемы. При этом должно быть выполнено условие, эквивалентное условию (1.15). В том случае, если задача нестационарной теплопроводности исследуется на резистивной сетке, закон Кирхгофа для узла имеет вид алгебраического или конечно-разностного уравнения

аналогичного конечно-разностной аппроксимации уравнения (1.5) для соответствующей узловой точки исследуемого объекта.

Поскольку ошибки, возникающие в результате конечно-разностной аппроксимации, зачастую достигают того же порядка, а задание граничных условий тоже происходит с невысокой точностью (из-за отсутствия достоверных о них сведений), можно считать, что даже погрешность моделей — сплошных сред, не говоря уже о погрешности сеточных моделей, оказывается вполне допустимой для большинства инженерных расчетов.

Разностное исчисление 1 (1-я)—253 Разрезка металла электроискровая 7 — 68 Разрубка кузнечная 6 — 316 Разрядники алюминиевые 13 — 489

РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ *

• Разностное исчисление позволяет решать ряд задач, относящихся к функциям, заданным таблицей. Если функция задана для ряда равноотстоящих значений аргумента с разностью Лк продолжение таблицы для следующих значений аргумента называется экстраполяцией. Если функция задана для нескольких произвольных значений аргумента, нахождение её для некоторого промежуточного значения аргумента называется интерполяцией.

РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Разностное исчисление

Разностное исчисление (Ю. Н. Работное) . . 253 Интегральные уравнения (Ю. Н. Работное) 258 Ряды функций (Л. Ю. Ишлинский) . . . 262 Номография (Ю. Н. Работное) ....... 271

ГЛАВА XII! РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ*

РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ и ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

Разностное исчисление 301—304 Разность квадратов 74

Глава XIII. Разностное исчисление и интерполирование (В. С. Люкшищ......301