Разностного приближения

Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторым по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15)дан дифференциальный метод расчета теплообмена излучением, известный под названием приближения Шу-стера — Шварцшильда или дифференциально-разностного приближения [Л. 1, 6, 17, 29, 43, 44, 336, 337, 343]. Авторами этого метода являются Шустер [Л. 336] и Шварцшильд [Л. 337], предложившие свой метод в 1905—1906 гг. для исследования переноса излучения в плоских слоях атмосферы. В дальнейшем это приближение уточнялось, совершенствовалось и использовалось в различных областях науки и техники: в астрофизике [Л. 1, 337, 338], метеорологии (Л. 339, 340], геофизике [Л. 45, 46], теплотехнике [Л. 29, 47—50, 341, 342] и др. Применительно к геофизическим задачам приближение Шустера —• Шварцшильда было уточнено Е. С. Кузнецовым (Л. 44—46], а обобщение этого приближения на случай селективного излучения с учетом анизотропии объемного и поверхностного рассеяния при произвольных формах излучающих систем произведено в [Л. 29].

Основная идея дифференциально-разностного приближения заключается в представлении потока излучения для рассматриваемого направления в виде разности двух встречных потоков. При таком подходе путем соответствующего интегрирования уравнение переноса излучения заменяется системой из двух дифференциальных уравнений, содержащих в качестве неизвестных поверхностные плотности встречных потоков излучения. Аналогичное интегрирование производится и для получения граничных условий к этим дифференциальным уравнениям. Полученные описанным способом дифференциальные уравнения, граничные условия и уравнение энергии составляют замкнутую систему уравнений дифференциально-разностного приближения, которая и решается в зависимости от постановки задачи тем или иным способом. Коэффициенты переноса, фигурирующие в этой системе уравнений, как уже упоминалось, заранее точно не известны и определяются на основании предварительных приближенных оценок, а в случае необходимости могут быть уточнены итерационным методом. Этим, собственно, и обусловливается приближенность рассматриваемого метода. Вместе с этим сравнительная простота получаемых уравнений, отсутствие принципиальных затруднений при их решении, физическая наглядность сделали дифференциально-разностное

В настоящей главе излагаются теоретические основы дифференциально-разностного приближения. При этом рассмотрение проводится с учетом селективного характера излучения, анизотропии объемного и поверхностного рассеяния и при произвольных формах излучающих систем, как это сделано в [Л. 29]. Далее с помощью дифференциально-разностного приближения выполнено решение двух задач, имеющих практическое значение: исследовано влияние рассеяния на радиационный теплообмен и решена задача переноса излучения в слое ослабляющей среды при задании поля тепловыделений.

4-2. Теоретические основы дифференциально-разностного приближения

а) Уравнения для спектрального излучения. Вначале рассмотрим основные расчетные уравнения дифференциально-разностного приближения для спектрального излучения.

Приравняв правые части (4-10) и (4-16), получим окончательное уравнение граничных условий для дифференциально-разностного приближения при задании температуры и радиационных характеристик поверхности:

Итак, в результате приходим к системе дифференциальных уравнений (4-5), (4-6) и (4-8), (4-9), а также к уравнениям граничных условий (4-10) и (4-17), дающих описание процессов теплообмена излучением в различных постановках на основе дифференциально-разностного приближения. В математическом отношении эти уравнения являются строгими и точными. Однако коэффициенты переноса, фигурирующие в этих уравнениях, заранее точно не известны. Этими коэффициентами являются величины: m*v ±i, mv +i, 8v ±, ftv, «*v и av.

трудно предугадать заранее. Поэтому при использовании дифференциально-разностного приближения приходится ограничиваться приближенным заданием всех перечисленных коэффициентов переноса.

б) Уравнения для полного излучения. Перейдем к выводу основных уравнений дифференциально-разностного приближения для интегрального или полного излучения. При этом будем исходить из того же уравнения переноса излучения (3-18). Аналогично предыдущему проинтегрируем это уравнение поочередно в пределах полусферических телесных углов положительного (2n+i) 122

Так же^как и в случае селективного излучения, заранее эти*коэффициенты неизвестны и поэтому при использовании дифференциально-разностного приближения для полного излучения тоже приходится вводить

Для серой среды и серой граничной поверхности уравнения (4-21), (4-22); (4-25), (4-26) и граничные условия к ним (4-27) и (4-30) будут содержать коэффициенты, при определении которых отпадает необходимость интегрирования по спектру. По форме эти уравнения б"^длгт тождественны соответствующим ^7Г*авнениям спектрального излучения. Поэтому для неселективных (серых) излучающих систем использование дифференциально-разностного приближения будет существенно проще.