Реализации случайного

Случайные функции (процессы) и их неслучайные характеристики. На рис. 6.7 и 6.8 показаны три реализации случайной функции Д<7/с(т). При статистическом методе изучения случайных функций исследуется не каждая функция и ее свойства, а свойства всего множества функций в целом. Это дает возможность при исследовании колебаний стержня при действии случайных нагрузок исследовать движение стержня не по отношению к одной возможной реализации нагрузок, а по отношению к целой совокупности возможных случайных нагрузок.

Если в функции у (х, со) зафиксировать переменную со, то получится обычная (детерминированная) функция уа (х) переменной х, носящая название реализации случайной функции у (х, со). Именно такой реализацией считают каждую профилограмму, имея в виду, что на поверхности рассматриваемой конкретной детали существует множество профилей, на каждом из которых можно записать профилограмму. Тот факт, что запись пришлась на некоторый профиль со, означает реализацию элементарного случайного события.

Напомним, что рассматриваемые параметры неровностей поверхности представляют собой: Ra — среднее арифметическое (абсолютное) отклонение профиля от его средней линии; Щ — средний квадрат отклонений профиля от его средней линии; m— число максимумов случайной функции на интервале (О, L); I (и) — суммарная длина отрезка, вырезаемая реализацией случайной функции х (t) на прямой, параллельной оси / стационарности на высоте и над этой осью; Q (и) — относительная суммарная площадь областей, ограниченных реализацией случайной функции у (х) и параллельной ее оси стационарности прямой на уровне и надданной осью, отнесенная к длине интервала (О, L), на котором получена реализация; п (и) — число пересечений уровня (параллельного оси стационарности и расположенного над ней) реализациями случайной функции у (х) на отрезке (О, L); п (0) — число нулей реализации случайной функции у (х) на том же отрезке; 6 — угол наклона касательных (или их тангенсов) к реализациям случайной функции у (х); S/L — относительная длина реализации случайной функции у (х) на отрезке (О, L); g — кривизна реализации случайной функции у (х) на единичном интервале.

Поэтому при математическом моделировании ошибок элементов высших кинематических пар (Дг/) узлы интерполирующих полиномов надо выбирать в полном соответствии с назначенными в условиях производства контрольными положениями изготовляемых звеньев механизма, а величины самих ошибок — основываясь на конкретных видах законов распределения и корреляционной функции (или корреляционной матрицы), отражающими специфические условия соответствующего технологического процесса. Иначе—составленные при помощи интерполирующего полинома отдельные реализации случайной функции Дг/ (х) должны в своей совокупности с заданной вероятностью соответствовать реализациям случайной функции Дг/* (х), характеризующей ошибки в изготовлении элементов высших кинематических пар в реальных условиях производства.

На основе испытаний образцов для каждого уровня напряжений получены статистические «облака» реализации случайной функции ec(t). Численное построение кривых ползучести, т. е. уравнений регрессии по имеющемуся статистическому материалу, проводилось по методу наименьших квадратов с параболической и линейной аппроксимацией для первого — нелинейного и второго — линейного участков кривых, расчет — на ЭЦВМ М-222 с помощью программы, приведенной в работе [1].

ординаты весовой функции — представляют собой коэффициенты множественной регрессии выхода Y (t) относительно входа X (s), a xt — значения ординат реализации случайной функции X (s) в моменты ^ = t, t% = 2t, . . ., tn = nt. Как известно из корреляционной теории анализа точности производства (см. гл. 9), оптимальные значения коэффициентов множественной регрессии g в уравнении (10.37) по критерию минимума среднего квадрата ошибки получают путем решения следующей системы линейных алгебраических уравнений:

В соответствии с таблицей получены формулы для размера и формы. Как видно из таблицы, к характеристике погрешности формы можно прийти исходя из двух частных совокупностей (или условных распределений) • — реализации случайной функции по углу поворота или по номерам деталей в порядке их обработки. Для того чтобы образовать частные совокупности, удобные для статистической обработки, необходимо совместить начало реализаций по одному из параметров, т. е. один из параметров зафиксировать. Рассеивание измеренных данных при этом обусловливается вторым из параметров. Для шлифованных поверхностей деталей невозможно зафиксировать по углу поворота общие в пределах партии точки поверхности (например, нулевую фазу). Поэтому рассматривались реализации не по номерам деталей в порядке их обработки, а по углу поворота.

У функциональных случайных погрешностей параметр Dx(t) в общем случае является переменным, т. е. величина рассеяния собственно случайных погрешностей изменяется во времени. Однако встречаются процессы, протекающие при постоянных значениях Dx(t) и tnx(t); такие процессы называются стацио-,, парными случайными. В данном случае величина поля рассеяния собственно случайных погрешностей является постоянной. Некоторые стационарные случайные функции обладают эргодическим свойством, заключающимся в том, что только по одной реализации случайной функции можно получить все необходимые ее характеристики, не прибегая к множеству опытов. При анализе точности обработки на металлорежущих станках, т. е. точности дискретных процессов, с помощью метода случайных функций аргументом могут являться номера обрабатываемых деталей.

Нельзя указать заранее, какую именно реализацию, какие значения получит случайная функция х (f), но можно установить некоторые общие свойства случайной функции. Например, можно определить среднее значение (математическое ожидание) случайной функции и с определенной вероятностью полосу, в которой окажутся реализации случайной функции (рис. 38). Случайная функция является количественным описанием случайного процесса, порождающего случайное поведение во времени t параметра х, Случайная функция A(t)\ представляет собой матема-

Среднему значению случайной функции можно дать статистическую оценку с помощью наблюдений за различными реализациями случайной функции. На рис. 39 показаны экспериментально определенные реализации случайной функции х (t). Среднее значение в момент времени t±

Таким образом, функция х* (t) является стационарной, х* (f) — = const, Kx* (t, t + т) = ф (т), но, как легко выяснить, не является эргодичной. Рассмотрим две различные реализации случайной функции (рис. 49). Осредняя по времени реализации, соответствующие различным значениям i>i и у2 случайной величины v, нельзя получить одинаковый результат и тем более результат, совпадающий со средним значением по многим реализациям.

Каждая оценка является функционалом реализации случайного процесса или случайного поля, то она также будет случайной величиной. Поэтому в качестве критерия качества оценки можно выбрать вероятность нахождения оценки в заданных границах относительно истинного значения исследуемой характеристики.

Рис. 2. Пучки реализации случайного процесса

Рис. 4.19. Временная диаграмма реализации случайного процесса смены состояний системы

которой функции ср [х (t) ] лю- xf бой реализации х (t). Стационарный процесс называется эр-годическим, если его числовые характеристики, полученные осреднением по множеству, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равны тем же статистическим характеристи- xK(t), кам, полученным осреднением по времени из любой одной достаточно длинной реализации случайного процесса [2].

Вторым видом программ для усталостных испытаний являются испытания при случайном нагружении. Основными функциями распределения при этом являются нормальный, ре-леевский и равномерный законы распределения экстремумов. Оператору обычно предоставляется возможность Задать числа, которые затем используются в качестве исходных Для генерирования случайных чисел. Этим до* стигается возможность изменения реализации случайного процесса при сох* ранении закона распределения.

которой функции ср [х (t) ] лю- xf бой реализации х (t). Стационарный процесс называется эр-годическим, если его числовые характеристики, полученные осреднением по множеству, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равны тем же статистическим характеристи- xK(t), кам, полученным осреднением по времени из любой одной достаточно длинной реализации случайного процесса [2].

С момента времени "tj начинается генерирование реализации' случайного процесса изменения определяющего параметра елокеи-та. Окончание генерирования реализации происходи* в момент времени, соответствующий достижению предельно возможного значения параметра элемента, или через заданное время моделирования.

В момент времени, соответствующий началу моделирования отдельной реализации случайного процесса изменения выходного параметра исследуемого устройства, блок амплитудного селектора 2Б черев формирователь импульсов 26 и нонтавты 2-27 ряда 1 искателя И2 подключается и блоку счетчиков 26, При отключении напряжения о обиотки реле 26 благодаря вводимой диодом ДЗ некоторой вадерхии времени отпускание происходит самоблокировкой реле Рб контактами 2Рб$ обмотка реле Р7 получает питание, в ревультате етого вамыкаются контакты 2Р7, контвюы 1Р7 размыкаются. Происходит моделирование реализации случайного процессы.

Масштаб времени моделирования обусловливается длительность» цикла срабатывания дагового искателя И2. Продолжительность воспроизведения одной реализации случайного процесса изменения определяющих параметров элементов может варьироваться с помощью переменного резистора R 112 от нескольких секунд до десятков секунд и более. В конце рабочего такта функционирования моделирующей установки искатель И2 возвращается в исходное положение: замыкаются контакты 1; срабатывает реле Р8; цепь питания искателя И2 разрывается контактами ЗРб; на обмотку И1 поступает импульсное напряжение через замыкающиеся контакты 1Р6 реле Р6. Искатель И1 переходит в исходное положение, завершая цикл работы моделирующей установки.

Рис. 2. Пучки реализации случайного процесса

статистической обработки информации, получаемой с помощью ЭВМ при многократном воспроизведении реализации случайного процесса обслуживания по специально разработанному алгоритму.