Рекуррентных соотношений

Если аналогичную процедуру подстановки выражений для ип в (п + 1)-е уравнение вида (3.57) повторять для п = 2, ..., N — 2, то в результате получим рекуррентные соотношения, связывающие температуры в точках п и (п + 1):

Разрешив выражения (5.51) — (5.52), получаем рекуррентные соотношения:

Разрешив выражения (5.51) — (5.52), получаем рекуррентные соотношения:

Полученное рекуррентное соотношение позволяет, используя правило дифференцирования сложной функции, получить рекуррентные соотношения для начальных моментов распределения числа нормально функционирующих выходных элементов, а затем и выписать их в замкнутой форме. Так, первый начальный момент может быть найден как

Для главных миноров этой матрицы можно получить следующие рекуррентные соотношения [391:

Чтобы получить рекуррентные соотношения, определяющие вектор 7jft (?) по заданному значению n]jj+1, повернем систему на угол тс вокруг оси, совпадающей с вектором ф. При этом векторы т$+1, % (?), Q/c преобразуются к виду, соответствующему умножению их на диагональную матрицу Ar = diag{^l, — 1, 1, — 1, 1, 1):

Используя условия (3.14) и рекуррентные соотношения между нормальными фундаментальными функциями, из уравнения (3.16) получим

Отметим, что рекуррентные соотношения между функциями (8) и функциями (4.48) одинаковые (см. с. 79) .

Учитывая рекуррентные соотношения между нормальными фундаментальными функциями, будем иметь

Выведем рекуррентные соотношения для определения произвольных постоянных различных приближений (/ + 1)-го участка по известным произвольным постоянным /-го.

Вид решения уравнений (33) остается неизменным и его можно получить из (23). Условия сопряжения (34) позволяют вывести рекуррентные соотношения, аналогичные (27), которые здесь не приводятся. Вся дальнейшая процедура решения сохраняется такой же, как и в случае собственных колебаний: для заданной скорости вращения со определяются динамические податливости подсистем, а затем из канонических уравнений, в этом случае уже неоднородных, находятся неизвестные силовые факторы, прило-

устройств, то вероятность невыполнения задания находят из рекуррентных соотношений [145]:

табулирование последовательных приближений Tk (ср) и X [Тй (ср)] можно произвести с помощью рекуррентных соотношений:

Для нахождения предельных динамических реакций RB(?) и RA (t) с помощью рекуррентных соотношений (6.42) и (6.51) построим вектор-функции

Главные миноры матрицы (14.53) можно представить в виде рекуррентных соотношений, аналогичных зависимостям (14.35):

правленного перебора (например, алгоритмы дискретного линейного программирования), алгоритмы последовательные, итерационные и др.; сведение задачи к полному перебору путем ограничения области поиска на стадии формирования исходных данных. Например, оптимизация плана обработки поверхности представляет задачу структурного синтеза, когда выбор варианта плана происходит во множестве с большим, но конечным количеством известных вариантов. Для поиска оптимального варианта используют алгоритмы дискретного программирования, находят условия, которым должен удовлетворять оптимальный многошаговый процесс принятия решений. Подобный анализ называют динамическим программированием. Оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каков бы ни был путь достижения некоторого состояния (технологического перехода), последующие решения должны принадлежать оптимальной стратегии для части плана обработки поверхности, начинающегося с этого состояния (технологического перехода). Для того, чтобы учесть сформулированный принцип оптимальности, можно использовать следующие обозначения: /„ (р,-) — технологическая себестоимость, отвечающая стратегии минимальных затрат для плана обработки от технологического перехода р( до последнего перехода (если до него остается п шагов); in (Pit — решение, позволяющее достичь /„ (р(). Общей особенностью всех моделей динамического программирования является сведение задач принятия решения к получению рекуррентных соотношений, которые можно представить как

При написании системы (4.53) для удобства температура рабочего тела принята равной нулю. Из (4.53) после нахождения производных с помощью рекуррентных соотношений получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: Арп и Врп. Знание пары последних коэффициентов позволяет рассчитать распределение температуры по длине и периметру трубки змеевика по формуле

Таким образом, если в распоряжении вычислителя имеется ортонормированная система многочленов (?о(х), <3\(х),..., ()т(х), то задача аппроксимации решается тривиально. Однако на практике для произвольного множества {х/,} таких многочленов нет. Для конкретной совокупности (уь, Юь, хь} такие многочлены приходится строить специально с использованием рекуррентных соотношений орто-гонализации [88]. Применение ортогональных многочленов повышает устойчивость приближения по сравнению с неортогональным базисом. Но это имеет место до некоторого «критического» значения т, после чего наступает «лавинообразный» развал аппроксимации, характеризующийся резким возрастанием средней квадратической погрешности аналитического описания данных. Может возникнуть ситуация, при которой применение ортогональ-

В [18] рассмотрен способ вычисления требуемой вероятности окончания испытаний, основанный на предварительном определении отмеченных выше последовательностей. Его преимуществом является возможность получения сразу окончательного выражения в явном виде для искомых вероятностей. Однако при его реализации приходится сталкивать с трудностями из-за огромного объема вычислений. Поэтому в данной главе применяется поэтапное вычисление вероятностей с использованием рекуррентных соотношений между вероятностями прохождения траекторий через границы соседних интервалов 6,;.

Для эквивалентной дискретной системы вместо дифференциальных уравнений порядка 2п (для изотропных роторов п = 8 и для анизотропных роторов п = 12) могут быть получены системы матричных рекуррентных соотношений, связывающих деформированное состояние в i'-й и (i + 1)-й расчетных ячейках. Для изотропных роторов

Удовлетворительную обусловленность, как правило, обеспечивают линейные модели, базисными функциями которых служат так называемые ортогональные многочлены, например многочлены Чебышева. Последние рекомендуется использовать при \xk \ < 1, k = 1, 2, ..., N. При заданном значении аргумента х многочлены Чебышева можно рассчитывать с помощью рекуррентных соотношений

Процедура расчета здесь принципиально та же, что и в § 3.3. Разница лишь в том, что функции должны быть заменены векторами, а прогоночные коэффициенты — матрицами. При расчете необходимо осуществить прямой ход, когда определяют прогоночные матрицы из рекуррентных соотношений, и после удовлетворения условий на правой границе находят искомые векторы при обратном ходе.