Распределений случайных

Хилл [16] также рассматривал модель коаксиальных цилиндров, исследуя задачу о плоской деформации при действии равномерно распределенного внешнего давления. Использованная Хиллом общая методика представляет большой интерес, несмотря на то что основное внимание он уделяет определению связи напряжений с деформациями, а не локальных распределений напряжений и деформаций.

где R — радиус волокна, Д — ширина матричной прослойки между волокнами, Ет и ES — модули Юнга матрицы и волокна соответственно, ётах—максимальная деформация в матрице в направлении оси х (направление приложенной нагрузки, параллельное стороне элементарного квадрата), а ео — средняя деформация. В проведенном Кисом анализе использовались некоторые грубые приближения распределений напряжений и материала. Геррман и Пистер [35] нашли точное решение задачи в рамках теории упругости с использованием численных методов. Подробные решения получены также Уилсоном и Хиллом [69], Фойе [25], Адамсом и Донером [2], а также Клаузеном и Лейсса [11]. Описание соответствующих экспериментов, в которых использовались двумерные модели, можно найти у Сэмпсона [58] и у Дэниела [15, 16]. Некоторые данные из последней работы приводятся ниже.

где ает и apr определяются выражениями (19) и (20) для жх = tr/2 и С = rtr/2. Поскольку данные коэффициенты включают усреднение по области перенапряжения с функцией распределения дефектов в качестве весовой функции, они были названы Скопом и Аргоном [32] коэффициентами перенапряжения1) в отличие от коэффициентов концентрации. Если функция распределения плотности дефектов % (о), определяющая функцию распределения прочности, представляется в виде записанной выше простой степенной функции, то, как видно из выражений (24) и (25), коэффициенты перенапряжения для двух элементов с каждой стороны образовавшегося разрушения зависят только от показателя m и числа разрушенных соседних элементов г, но не зависят от коэффициента С в выражении для функции распределения. Коэффициенты перенапряжения для элементов, соседних к разрушенным г элементам, являются определяющими факторами при докритическом росте трещин. Вычисление этих коэффициентов по уравнениям (24) и (25) с использованием распределений напряжений (19) и (20) для упругой и пластичной матриц связано с определенными трудностями. Тем не менее, как показано в приложении 2, можно легко получить приближенное решение в следующем виде:

Модель для описания распределения напряжений в коротком волокне в условиях ползучести была предложена в [28] и приведена на рис. 32. В начале испытания на ползучесть, в момент приложения нагрузки, распределение напряжений в волокне схематически представлено кривой а. Линейная зависимость напряжения в волокне от расстояния, вероятно, есть хорошее первое приближение. В процессе испытания на ползучесть сдвиговое напряжение т в матрице вблизи волокна, передающее растягивающее напряжение, снижается за счет релаксации напряжений в матрице. При этом происходит и ползучесть матрицы. Наименьшее значение т в матрице вблизи волокна, которое может поддерживать в нем нагрузку, близко к распределению напряжений, схематически представленному на рис. 32 (кривая б). Уменьшение т при испытании на ползучесть приводит к тому, что распределение напряжений а заменяется распределением б, проходя через промежуточную стадию типа а'. Условие приложения к композиту постоянной нагрузки для всех трех распределений напряжений записывается в виде

Трудно дать количественную оценку распределений напряжений, изображенных на рис. 1а — 1д. Это связано с тем, что модели, принятые в качестве основы для расчетов, не очень точно соответствуют реальным композитам, в которых локальное расстояние между волокнами оказывается случайным, меняющимся от нуля (случай контактирующих волокон) до нескольких диаметров волокон. Во многих случаях размеры отдельных волокон также меняются. Свойства матрицы могут быть локально изменены вследствие абсорбции покрытия волокон. На поверхности волокон часто появляются поры. Действительные величины усадочных напряжений, возникающих при конкретном процессе производства, фактически оказываются неизвестными из-за, вероятно, существующих релаксации и изменения упругих свойств компонентов при повышенной температуре. В силу этих причин предсказания прочности становятся ненадежными.

1) главное преимущество моделирования на резине с нанесенными сетками заключается не в возможности числовой оценки, а в том, что можно простыми средствами получить наглядную качественную картину напряженного состояния; 2) отклонение распределений напряжений в моделях из резины от распределения напряжений в металлических образцах вызывается значительным изменением формы образца в процессе его деформирования; 3) в резине наблю-

46. Райли В. Ф., Дюрелли А. Дж. Определение нестационарных распределений напряжений и скоростей методом «муара».— Прикл. механика. Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Е, 1962, 29, № 1, с. 27—34.

Уравнения (11.7)8,4]5 показывают, что, во-первых, нормальные напряжения либо тождественно равны нулю, либо во всей площади поперечного сечения являются самоуравновешенными в его пределах. Поэтому эти уравнения рассматривать не будем. Остальные уравнения, в которые входят касательные компоненты напряжений, могут быть удовлетворены при бесчисленном количестве вариантов распределений напряжений по поперечному сечению стержня. Как уже указывалось в § 2.3, задача сопротивления материалов является статически неопределимой относительно закона распределения напряжений по поперечному сечению бруса.

По мере удаления от конца волокна а? линейно возрастает. Соответствующая этому напряжению деформация волокна е/* равна деформации матрицы ет. В этом случае на поверхности раздела матрицы и волокна действуют напряжения сдвига и величина о/ принимает постоянное значение. Вид распределений напряжений показан на рис. 5.21. Когда напряжение а/ достигает своего максимального значения а{ тах, т. е. прочности волокна при растяжении dfu, начинается

При нелинейном, близком к параболическому закону распределений напряжений

5.4.3. В общем случае моделирования необходимо, чтобы деформации в натуре и модели были одинаковы. Это должно выполняться, если выбираемые при нагружении зазоры приводят к изменению распределений напряжений в рассматриваемых

Так же, как при работе на примитивном токарном автомате, здесь человеку — рабочему или контролеру — при настройке (и позже с определенной периодичностью) приходится выполнять выборочные проверки машины. Речь идет о проверках параметров распределений случайных величин, характеризующих состояние системы и соответствие результатов техническим нормативам по качеству, пользуясь при этом показаниями автономных измерителей с автономной (относительно проверяемой системы) обработкой данных.

мер, при смешении нескольких партий деталей. В последнем случае Закон распределения, получающийся в результате соединения двух распределений случайных величин, объёмы которых равны Л/j, N2, вычисляется по формуле

Характеристики (некоторые параметры) расположения и рассеивания случайных величин позволяют численно выразить существенные особенности распределений случайных величин.

В качестве числовых характеристик распределений случайных величин, как уже указывалось, используются оценки математического ожидания X* и дисперсии S2 (X). В первую очередь сравнивают дисперсии, а затем средние значения.

Исчерпывающей (полной) теоретической характеристикой случайных величин является их закон распределения, задаваемый в дифференциальной или интегральной форме. Закон распределения устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Распределение каждой случайной величины соответствует вполне определенному закону. Во многих практических задачах вместо полных теоретических характеристик случайных величин можно ограничиться более простыми характеристиками, определяющими не все распределение случайной величины в целом, а только некоторые наиболее существенные его черты. Такие частичные теоретические характеристики распределений случайных величин называются их числовыми характеристиками. Минимально необходимыми числовыми характеристиками для одномерных величин являются:

Асимметрия. Эксцесс. Моменты третьего и четвертого порядков используются в качестве характеристик, определяющих некоторые дополнительные свойства распределений случайных величин (сверх М {Х\ нО {X}), а именно, асимметричность распределений (скошенность) и крутость (эксцессивность) распределений.

1 Н. А. Бородачев [6] на основе теоретического анализа распределений случайных величин, образованных по схеме суммы, получил ряд негауссовых распределений, начиная с простейшего случая — распределений с функцией a {t) и кончая сложными схемами, встречающимися в машиностроительном производстве (см. пп. 3.12 и 3.14). В основу теории негауссовых распределений были положены гипотетические вероятностные схемы, соответствующие физической сущности явлений, определяющих данный технологический процесс.

Характеристики (некоторые параметры) расположения и рассеивания случайных величин позволяют численно выразить существенные особенности распределений случайных величин.

Метод условных вероятностей (см., например, [25]) основан на представлении случайного времени выполнения задания в виде некоторой функции случайных величин: наработки системы, времени восстановления, количества нарушений работоспособности и т. д. Вероятность безотказного функционирования находится сначала при условии, что все случайные величины, кроме одной, принимают фиксированные значения. Затем условия постепенно снимаются с учетом заданных распределений случайных величин и находится искомое выражение, записываемое обычно в операционной форме.

Представление распределений случайных процессов и величин при помощи совокупности моментных функций является нетривиальной проблемой теории вероятностей [9, 20 ]. Чтобы плотность вероятности р (х) однозначно определялась своими моментами, достаточно выполнение условия Карлемана:

Учитывая трудности записи и обработки нагрузочного режима большой длительности, для определения его параметров -по результатам заездов ограниченной длины необходимо использовать зависимости для предельных распределений случайных величин или методы прогнозирования. Следует отметить, что для некоторых деталей стабилизация нагрузочного режима может наблюдаться при пробегах ограниченной длины, однако для подтверждения этого положения накопленного статистического материала в настоящее время недостаточно.

1. Теоретические расчетно-аналитичес-кие методы, или методы математического моделирования. Вероятностно-аналитические методы имеют для практики значительный недостаток: некоторые из них могут быть использованы только тогда, когда имеются аналитические выражения для распределений случайных величин. Вывести и получить аналитические выражения для распределений случайных величин обычно очень сложно, поэтому на стадии проектирования, когда дается ориентировочная оценка показателей надежности, эти методы не всегда подходят. Хотя вычисление вероятности нахождения случайной величины в заданных пределах ее значений, обеспечивающих нормальное безотказное функционирование используемого объекта, в математическом отношении весьма простая операция, если имеется закон распределения этой случайной величины: