Распределения соответствующие

Число собственных частот и соответствующих им форм свободных колебаний равно числу степеней свободы системы. Все собственные частоты системы образуют ее так называемый спектр собственных частот. Распределение в нем частот по их численным значениям в разных случаях различно. В общем «густота» распределения собственных частот увеличивается с ростом их номеров. Однако в ряде случаев наблюдаются и другие закономерности; в частности, бывают скопления собственных частот вблизи некоторых мест на числовой оси и даже полное совпадение двух или нескольких собственных частот. При сближении значений собственных частот, а тем более при их совпадении, возникают трудности в определении соответствующих собственных форм.

Если известны параметры распределения собственных ча- ид стот, то можно найти среднее значение амплитуды колебаний на заданной частоте ш. Ампли- о,б туду колебаний точки х в направлении оси х" (ге=1, 2, 3) при возбуждении системы сосредото- W ченной гармонической силой Fn приложенной в точке у и на- 0,2 правленной по оси х1, можно ' выразить через нормированные динамические податли-

Если со п. является случайной величиной, то случайной также оказывается амплитуда колебания. Вместо расчетной амплитуды Ь0 на частоте со = = ю„ действительная амплитуда с вероятностью 0,05 будет меньше 0,25 b.nlknr или при А^г = 0,1 и kn = 0,1 действительная амплитуда может оказаться меньше 25% расчетной величины. С вероятностью 0,3 действительная величина амплитуды отличается от расчетной более чем в 2 раза. Динамическая податливость системы является случайной функцией, зависящей от взаимного распределения собственных частот подсистем. Если система А с динамическими податливостями а// стыкуется по одной координате через жесткость С, установленную в точке 2, с системой В, имеющей динамические податливости 6у, то смещение произвольной точки 3 системы В под действием силы Feitat, действующей в точке /, на систему А, можно записать в следующем виде:

Если заданы плотности распределения собственных частот подсистем I и II — Ф1(Ю и ф2 () и модули динамических податливостей в окрестностях этих частот можно представить в виде симметричных функций % (jco — — coil) и яэа (со — со2 [), то вероятность, что ja12 623 > , определяется интегрированием совместной плотности вероятности распределения собственных частота)! и со 2 по области, в которой они удовлетворяют неравенству % (1со — со 1 ) фа (со — со 2 ) < ?:

Как видно из соотношений (7.29), амплитуды искажающих гармоник обратно пропорциональны разностям квадратов собственных частот порождающей системы. Это позволяет судить о роли плотности спектра и характера распределения собственных частот порождающей системы на искажение форм колебаний после внесения возмущений. Чем более разрежен спектр частот, тем (при прочих равных условиях) меньшие искажения форм колебаний.

Свойство последовательности полиномов р0 (^), р\ (k), ..., р„ (k) позволяет вычислять собственные частоты из заданного диапазона или найти несколько собственных частот, ближайших к некоторому числу, или построить гистограмму распределения собственных частот без вычисления самих частот.

Понятие о функции распределения и плотности собственных частот. Пусть спектр собственных частот — точечный, но достаточно плотный, так что в диапазоне частот, представляющем интерес для приложений, находится достаточно много собственных частот. Это типично для тонких пластин и оболочек, а также для трехмерных тел, находящихся под действием широкополосного возбуждения. Функция распределения собственных частот вводится следующим образом:

Асимптотические распределения и плотность собственных частот. Задание точного распределения частот полностью определяет весь спектр. Для качественных и некоторых количественных выводов о динамическом поведении упругих систем достаточно иметь приближенные сведения о распределении собственных частот. Пусть рь (32>... —некоторые безразмерные параметры системы, малые по сравнению с единице_й (например, относительная толщина пластины или оболочки). Функцию частоты Л/(со) называют асимптотической функцией распределения собственных.

Чаще всего этими параметрами являются волновые числа, характеризующие собственные формы (например, числа, обратные длинам волн вдоль координатных осей). Назовем соответствующий вектор k = (?ь ?2, ... , kn) волновым вектором. Зависимость со = Q (k), а также объем ячейки Ak, приходящийся на одну частоту спектра, будем считать заданными. Асимптотическая функция распределения собственных частот (рис. 3)

d. Асимптотические распределения собственных частот упругих систем

2. Асимптотические распределения собственных частот тонких упругих оболочек

Составленная нами программа для ЭВМ позволяет использовать в качестве исходных распределений нормальное или Вейбулла. На рис. 9 для сравнения приведены кривые распределения, соответствующие нормальному и распределению Вейбулла для одних и тех же значений математического ожидания и дисперсии. Эти кривые мало отличаются друг от друга, а функции восстановления H(t) или плотности восстановления h(t), соответствующие этим распределениям, практически совпадают. Таким образом, обрабатывая экспериментальные ряды значений сроков службы, главное внимание в рамках рассматриваемой методики следует уделить точному определению математического ожидания и тех параметров распределений, через которые

Если же число наблюдений величины х значительно (желательно не менее 100), то по опытным данным можно построить эмпирическую кривую распределения, сопоставить её с кривой теоретического закона распределения, должного иметь место в условиях опыта, и определить числовые параметры распределения, соответствующие установленному теоретическому закону. В обоих случаях следует определить средние ошибки вычисленных параметров.

в процессе предварительного нагружения еще до выхода на заданный уровень напряжения. Их долговечности принимают равными нулю. С ростом уровня напряжения долговечности, как правило, уменьшаются, причем экспериментальные кривые распределения должны смещаться к началу координат. Однако при высоких уровнях напряжений, приближающихся к среднему значению предельного сопротивления быстрому нагружению, закономерное влияние величины напряжения на долговечность может утрачиваться, причем кривые распределения, соответствующие различным уровням напряжения, оказываются пересекающимися. Эту аномалию можно объяснить тем обстоятельством, что время полного разрушения конкретного образца зависит при высоких напряжениях прежде всего от остроты одного или нескольких концентраторов, случайно попадающих в его объем. Уровень напряжения перестает играть при этом решающую роль.

где «!_„ и Ы!_Р — квантили нормального распределения, соответствующие вероятностям 1 — а и 1 — р\

В формулах (116) и (117) xi-a (2n) и Хр (2п) — квантили х2-распределения, соответствующие вероятностям 1 — аир и числу степеней свободы распределения f = 2п.

тили ^-распределения, соответствующие вероятностям: -н- и 1-----5~ и числу степеней свободы / = 2п.

a распределения, соответствующие вероятностям -^- и a

Если же число наблюдений величины X значительно (желательно не менее 200), то по опытным данным можно построить эмпирическую кривую распределения, сопоставить ее с кривой теоретического закона распределения, который должен иметь место в условиях опыта, и определить эмпирические числовые параметры распределения-, соответствующие установленному теоретическому закону.

?-р, "p— ресурс детали, выраженный в км, ч и т, п., н квантиль нормального распределения, соответствующие вероятности разрушения Р.

Здесь Yfc. YA — случайные числа, равномерно распределенные на интервале (0,1), которые вырабатываются на ЭВМ с помощью программных датчиков. Моделирование реализаций С0? выполняют одним из методов моделирования случайных величии с заданным законом распределения. Соответствующие алгоритмы можно найти, например, в [18, 31].

Критерии, определяющие критическую область, могут быть одно- и двусторонними, что поясняет рис. 10.3. Если основная гипотеза заключается в том, что наблюдаемое значение отличается от среднего значения с уровнем значимости а, то критическая область KI состоит из двух подобластей: подобласть слева соответствует вероятности а/2 того, что наблюдаемое значение меньше х0, подобласть справа - вероятности а/2 того, что оно больше XQ. При проверке того, что наблюдаемое значение не больше х0, должен использоваться односторонний критерий. Критическая область К{ теперь является неразрывной. Это же справедливо при проверке того, что результат не меньше XQ. Во всех случаях речь идет о статистически значимом различии величин. На рис. 10.3 через— га, га и z'a обозначены квантили распределения, соответствующие границам указанных критических областей. Заметим, что г„/2 = za-

Формулы (2.13), (2.14) позволяют оценить цикличность процесса. Плотности распределения, соответствующие различным способам схематизации нормальных стационарных случайных процессов, приведены в табл. 2.5. Там же даны две формулы для плотности распределения абсолютного максимума стационарного нормального процесса, соответствующего реализации процесса протяженностью Т; одна из них выведена В. В. Болотиным [9], другая взята из работы [102] и является двойным экспоненциальным законом.