Распределение наработок

где F(t) - стационарное распределение наработки между отказами, т.е. ?(t)-]imFn(t),

где в свою очередь Fn(t) - распределение наработки до n-го отказа [после (п-1)-го восстановления].

Расчет по формуле (4.3) обычно производится численными методами. Удобная приближенная формула для средней наработки до отказа может быть записана только для системы, которая состоит из элементов, имеющих экспоненциальное распределение наработки. В этом случае

Средняя наработка до отказа системы легко находится лишь в случае, когда все элементы не только идентичны, но и имеют экспоненциальное распределение наработки до отказа. С помощью таких же рассуждений, как в случае простого нагруженного резервирования, для скользящего резервирования получаем

^i (x) - распределение наработки /-го элемента. Отсюда при постоянных интенсивностях отказов и неслучайных значениях т, имеем

где t'= mt ; Т = t + т ; F (t) - распределение наработки устройства до отказа; Q (t, T) - вероятность невыполнения задания длительностью t в течение времени Т = t + т. Функция Q (t, Т) находится с помощью формулы (4.81) или (4.85):

Для конкретности предположим, что элементы идентичны, т.е. имеют одинаковое распределение наработки на отказ F1 (х) = f2 (х) =

4) распределение наработки до отказа (предельного состояния);

Для практических целей, видимо, естественно принять для большинства строительных и механических элементов и конструкций нормальное распределение наработки. Параметры этого распределения могут быть легко найдены по широко известным в математической статистике формулам:

Минимизация средни.* удельных издержек. Система, состоящая из п элементов, работает в циклическом режиме, между периодами работы имеются интервалы "отдыха", в течение которых можно проводить ТО, причем фактически ограничения на длительность проведения ТО отсутствуют. Для каждого элемента заданы: 7", - средняя наработка; о, - среднее квадратическое отклонение (предполагается, что распределение наработки каждого элемента является нормальным); Cj - стоимость замены /-го элемента на новый; А/ ~ стоимостный ущерб от аварии из-за отказа /-го элемента во время выполнения системой своих функций.

так: после «чистки» оператором / двухмерного массива Я [а, аа] значений случайных величин, представляющих количества попаданий а, аа в ячейки матрицы hxhh (в формулах (2.24) числа а, аа обозначены через lip. •••. Irp для разных г и р), управляющей переменной / присваивается начальное значение (оператор 2) и управление передается оператору 3, который представляет собой «модель» исследуемой системы. На рис. 2.12 изображена простейшая модель, когда предполагается заранее известным распределение наработки системы. Это распределение характеризуется параметрами k, х, у, z.

Если распределение наработок до отказа подчинено экспоненциальному закону, то

При обработке информации о надежности технических систем, состоящих из большого числа элементов, следует учитывать, что причины отказов различны: одни элементы могут отказывать из-за износных разрушений, другие — вследствие нарушений условий эксплуатации, третьи — из-за усталостного разрушения и т. п. Если исследовать распределения до отказов таких систем, то эти распределения будут, как правило, отличны от традиционных, типичных для наработок отказа одного элемента (распределение Вейбулла, нормальное и т. п.). Тогда распределение наработок до отказа будет подчиняться суперпозиции нескольких распределений. Типичными являются и такие механические системы, у которых в начальный период эксплуатации возникают внезапные отказы, обусловленные отдельными дефектами технологии изготовления. Спустя некоторое время начинают происходить износные или усталостные отказы. В такой ситуации также следует ожидать действия одного из суперпозиционных законов.

Рассмотрим механическую систему, в которой имеют место износные разрушения. Так как при этом причиной первого отказа является чаще всего один или несколько лимитирующих надежность элементов, то распределение наработок до первого отказа таких систем .близко к нормальному. После отказа восстанавливают (или заменяют) чаще всего только отказавший элемент. Это приводит к тому, что каждый из элементов системы, подвергаемых изнашиванию, после устранения очередного отказа, будет находиться на различных стадиях изнашивания и может оказаться причиной отказа.

В такой ситуации поток отказов может быть принят пуассо-новским. При этом, чем больше номер отказа, тем ближе распределение наработок до этого отказа приближается к экспоненциальному. При наработках до второго и третьего отказов можно ожидать одновременного действия обоих факторов, а распределение наработок близким к суперпозиции нормального и экспоненциального законов. Это подтверждается опытными данными о распределении наработок до первого, второго, третьего, четвертого и пятого отказов двигателей пассажирских автобусов США (табл. 25). Из гистограмм этих распределений видно, что распределение наработок до первого отказа (рис. 42, а) близко к нормальному; до четвертого и пятого — к экспоненциальному. Наработки же до второго и третьего отказов (рис. 42, б и в), а также суммарное распределение наработок до отказов отличны от обоих этих законов.

Рис. 42. Распределение наработок двигателей пассажирских автобусов до:

Аналогичная картина наблюдается у распределений наработок до отказа у двигателей некоторых отечественных автомобилей (табл. 26). Из таблицы видно, что распределение наработок до первого и второго отказов близко к нормальному; в то же время распределения наработок до четвертого и пятого отказов, а также суммарное распределение наработок до отказов (последняя колонка табл. 26) отличны от него.

В табл. 27 приведено распределение наработок до второго отказа. Выше было показано, что для данного случая распределение наработок подчинено суперпозиции экспоненциального и нормального законов. Последовательность вычислений указана в таблице.

Если распределение наработок до отказа подчинено экспоненциальному закону, то

При обработке информации о надежности технических систем, состоящих из большого числа элементов, следует учитывать, что причины отказов различны: одни элементы могут отказывать из-за износных разрушений, другие — вследствие нарушений условий эксплуатации, третьи — из-за усталостного разрушения и т. п. Если исследовать распределения до отказов таких систем, то эти распределения будут, как правило, отличны от традиционных, типичных для наработок отказа одного элемента (распределение Вейбулла, нормальное и т. п.). Тогда распределение наработок до отказа будет подчиняться суперпозиции нескольких распределений. Типичными являются и такие механические системы, у которых в начальный период эксплуатации возникают внезапные отказы, обусловленные отдельными дефектами технологии изготовления. Спустя некоторое время начинают происходить износные или усталостные отказы. В такой ситуации также следует ожидать действия одного из суперпозиционных законов.

Рассмотрим механическую систему, в которой имеют место износные разрушения. Так как при этом причиной первого отказа является чаще всего один или несколько лимитирующих надежность элементов, то распределение наработок до первого отказа таких систем близко к нормальному. После отказа восстанавливают (или заменяют) чаще всего только отказавший элемент. Это приводит к тому, что каждый из элементов системы, подвергаемых изнашиванию, после устранения очередного отказа, будет находиться на различных стадиях изнашивания и может оказаться причиной отказа.

В такой ситуации поток отказов может быть принят пуассо-новским. При этом, чем больше номер отказа, тем ближе распределение наработок до этого отказа приближается к экспоненциальному. При наработках до второго и третьего отказов можно ожидать одновременного действия обоих факторов, а распределение наработок близким к суперпозиции нормального и экспоненциального законов. Это подтверждается опытными данными о распределении наработок до первого, второго, третьего, четвертого и пятого отказов двигателей пассажирских автобусов США (табл. 25). Из гистограмм этих распределений видно, что распределение наработок до первого отказа (рис. 42, а) близко к нормальному; до четвертого и пятого — к экспоненциальному. Наработки же до второго и третьего отказов (рис. 42, б и в), а также суммарное распределение наработок до отказов отличны от обоих этих законов.