Распределение плотностей

2. Усеченное нормальное распределение (рис. 30) . Так как часто физические случайные величины меняются в ограниченных пределах от Xi до Х2 , то часто для их описания используют усеченное нормальное распределение. Плотность распределения и функция распределения которого имеют вид [38]

Для постепенных отказов справедлив закон распределения, который дает вначале низкую плотность вероятности отказов, затем максимум и далее падение, связанное с уменьшением числа элементов, оставшихся работоспособными. Наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практических расчетов является нормальное распределение. Плотность вероятности отказов

Показательное распределение. Плотность распределения может быть представлена в виде

На рис. 6, а даны зависимости зт (Г;) для случая распределения Симпсона (треугольное распределение), плотность вероятности которого имеет вид

2.4в. Гамма-распределение. Плотность гамма-распределения, характеризующаяся параметром положения у, параметром масштаба ц и параметром формы р, определяется формулой

Рис. 39. Распределение случайной Рис. 40. Одномерная плотность

Плотность распределения случайных функций и среднее значение. Будем рассматривать непрерывные случайные функции. В каждый момент времени случайная функция представляет собой случайную величину, имеющую непрерывное распределение. Плотность распределения случайной функции в данный момент времени будем обозначать / (х; t). В такой записи отмечается, Что время t рассматривается как параметр. Плотность распределения позволяет определить среднее значение (математическое ожидание) случайной функции

Плотность нормального распределения. Среди различных законов распределения непрерывной случайной величины нормальное распределение занимает совершенно особое место. Статистическое описание явлений обычно применяется при действии большого числа второстепенных разнородных факторов, приблизительно равноценных по значению. Суммарный эффект получается в результате «осреднения» отдельных воздействий.

При таких условиях в теории вероятности доказывается центральная предельная теорема Ляпунова, в соответствии с которой распределение суммы большого числа независимых случайных величин (с произвольными законами распределения!) подчиняется нормальному закону. В практике нормальное распределение встречается очень часто: погрешности изготовления и измерения деталей, рассеяние механических свойств материалов, распределение различного рода случайных воздействий и т. п. Нормальный закон распределения обладает устойчивостью, линейные функции нормальных случайных величин также следуют этому закону. Во многих задачах с помощью нормального закона или его модификаций можно приближенно представить другие распределения. Плотность распределения при нормальном законе выражается следующим равенством:

На рис. 71 показана плотность нормального распределния в соответствии с формулой (31.1). Отметим, что при нормальном распределении случайная величина х может принимать значения —оо < х < сю, причем вероятность больших отклонений очень мала. Нормальное распределение является двупараметрическим: задание двух параметров х и а полностью определяет распределение.

При а = 0 и <т = 1 случайная переменная х имеет нормальное и центрированное распределение, плотность которого определяется выражением

Случайная переменная х, представляющая собою сумму квадратов k независимых случайных величин ?i,?2> • • -?,k, каждая из которых распределена по нормальному нормированному и центрированному закону, т.е. их функция распределения и плотность вероятности определяются (1.13) и (1.16), имеет хи-квадрат распределение. Плотность распределения К(х,г] случайной величины при этом законе имеет вид

Рассмотрим теперь распределение плотностей Б покоящейся жидкости. Для этого сравним две одинаковые прямые вертикальные

В случае же сплошного спектра, когда его гармонические составляющие сплошь заполняют тот или иной конечный участок частот, при конечных амплитудах всех гармонических составляющих на этот участок частот приходилась бы бесконечно большая энергия колебаний. Для того чтобы на конечный участок частот приходилась конечная энергия колебаний, амплитуды отдельных гармонических составляющих должны быть бесконечно малыми. Тогда «плотность амплитуд», приходящаяся на бесконечно малую область частот, оказывается величиной конечной. Распределение «плотностей амплитуд» по частотам спектра и является основной характеристикой состава сплошного спектра, аналогично тому как величины амплитуд отдельных гармонических составляющих являются основной характеристикой состава дискретного спектра.

Еще в 1868 г., в историческом докладе на заседании Русского технического общества, анализируя только первые работы А. С. Лаврова и Н. В. Калакуцкого, Д. К. Чернов пророчески говорил: «... наша литература должна гордиться трудами Лаврова и Калакуцкого: они первые указали на распределение пустот в литых стальных болванках и зависимость их от обстоятельств плавки и литья — распределение плотностей самой стали в различных местах болванок и неодинаковость ее химического состава; первые подробно познакомили со всеми манипуляциями сталепушечного дела...» 24.

Емкостный метод, разработанный в МЭИ В. А. Головиным, основан на измерении изменений емкости поверхностного конденсатора при наличии на его электродах пленки. В этом случае образуется некоторое распределение плотностей силовых линий напряженности электрического поля между пленкой и паровой фазой. Большая плотность соответствует среде с большей диэлектрической проницаемостью (пленке). При росте толщины пленки все большее число силовых линий входит в пленку, увеличивая плотность поля, поэтому емкость датчика возрастает с увеличением толщины пленки. Расчет изменения емкости датчика в зависимости от толщины пленки довольно сложен, однако такую зависимость легко получить моделированием. В МЭИ применялись две основные схемы измерения емкостным методом. Электронная аппаратура (рис. 2.28, а), состоящая из высокочастотного измерительного генератора с частотой 12 МГц, с поверхностным емкостным датчиком и частотного детектора, позволила измерять толщины непрерывных пленок воды при 20 °С в диапазоне 0—1,5 мм с точностью до 0,01 мм, причем линейный участок находился в диапазоне 0—0,5 мм.

Основываясь на теплерограммах подобного типа, удалось показать, что движение газа в горящей среде вызывается простыми волнами, генерируемыми фронтом пламени. Определив экспериментально распределение скоростей газа перед фронтом пламени, легко вычислить распределение плотностей, давлений и температур перед фронтом пламени [19].

Если при отсутствии проскальзывания (К = 1) предполагается также отсутствие локального скольжения фаз, то, используя рассуждения, положенные в основу предложенной Банкоффом модели переменной плотности [12], можно показать, что радиальное распределение плотностей фаз должно быть однородным.

Рис. 4-18. Распределение плотностей тепловых потоков и температур по высоте шипового экрана в зависимости от шага шипов.

Краткое содержание. Оптическими методами проведено исследование двухмерных сверхзвуковых струй воздуха. С помощью интерферометра измерялось при различных числах Маха распределение плотностей на границе струи при полном расширении, а также в условиях перерасширения и недорасширения. Распределение плотностей представляется в виде функций ошибок. Для случаев полного расширения и недорасширения взаимодействие между пограничным слоем и ядром струи не имеет места. Расширение области струйного перемешивания при увеличении числа Маха уменьшается. Для случая перерасширения наблюдалось взаимодействие между пограничным слоем и скачком. Возникающий в этом случае скачок уплотнения был криволинейным, а поле потока за скачком — неоднородным.

На основе интерферограмм обычным методом определялось распределение плотностей в различных сечениях по длине зоны смешения, причем учитывалось влияние пограничного слоя у стеклянных стенок Результаты опытных данных обсуждаются в разд. III.

Распределение средних плотностей в пограничном слое первой зоны исследуемых сверхзвуковых струй определялось из интерферограмм. Эта часть зоны струйного смешения асимметрична и обычно известна как зона полуструйного смешения. Картина потока весьма схожа с идеальным случаем смешения однородного потока с находящейся в покое окружающей средой. Распределение плотностей за этой зоной определить не удалось, поскольку наступающая значительная турбулизация потока приводила к смазыванию интерферограммы. Таким образом, наши результаты ограничивались зоной смешения полуструи.

а) Полное расширение. Этот случай ближе всех остальных подходит к теоретическому случаю, рассмотренному Пэем [2]. Согласно теоретическому расчету Пэя для ламинарного потока расширение полуструи пропорционально квадратному корню из аксиального расстояния, а для турбулентного потока — аксиальному расстоянию. При прочих равных условиях расширение полуструи уменьшается с увеличением скорости •свободного потока. Для ламинарного потока теория точно описывает распределение плотностей в зоне смешения, а для турбулентного потока — с точностью до эмпирической постоянной.