Распределение случайной

Формулы (9.14) ... (9.16) справедливы при условиях: распределение случайных величин действительных отклонений подчиняется закону нормального распределения; средний арифметический размер звеньев (отклонений) совпадает с серединой поля допуска и за пределы поля распределения случайной величины выходит не более1 чем на 0,27% действительных размеров звеньев.

Многочисленными опытами доказано, что распределение случайных ошибок, возникающих в размерах при механической обработке деталей, сборке механизмов, а также при снятии показаний, приближается к закону нормального распределения (к закону Гаусса), который выражается кривой, представленной на рис. 234. Кривая симметрична относительно своей максимальной ординаты. Отсюда следует, что одинаковые по абсолютному значению положительные и отрицательные отклонения от М (х) равновероятны. Форма кривой показывает, что отклонения от М (х) малой величины (по абсолютному значению) появляются чаще, чем отклонения большой величины, а весьма большие отклонения вообще маловероятны.

где а - матем. ожидание, а ст2 - дисперсия случайной величины х. Н.р. возникает, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из к-рых играет в образовании всей суммы незна-чит. роль. Мн. случайные величины, встречающиеся в прикладных вопросах (напр., распределение случайных ошибок измерений), имеют распределения, близкие к Н.р.

Распределение случайных электрических и электромагнитных величин следует закону Максвелла. В перечисленных трех случаях плотность р распределения вероятностей случайных величин qi определяется соответственно равенствами

где а — математическое ожидание, а а2 — дисперсия случайной величины X. Мн. случайные величины, встречающиеся в прикладных вопросах (напр., распределение случайных ошибок измерении), имеют распределения, близкие к Н. р. Это объясняется тем, что Н. р. возникает, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из к-рых играет в образовании всей суммы незначит. роль.

Однако» в инженерной практике расчетов конструкций имеют место случаи, когда распределение случайных величин физико-механических параметров и действующих нагрузок отличается от нормального закона распределения. В этом случае функцию плотности распределения любого сложного закона можно представить в виде ряда Грамм— Шарлье, в котором члены ряда являются функциями плотности нормального распределения,

Для четырех моделей объем брака в партиях деталей принят равным 10%, распределение случайных погрешностей измерений, а также распределение наибольших размеров деталей принято по нормальному закону. Распределение величин погрешностей формы, под которыми здесь понимаются разности между наибольшими и наименьшими размерами деталей, для первой и второй моделей принято по закону Релея с предельными отклонениями (3,440) 0,2АИЗД для первой модели и 0,7 Аизд — для второй

Как правило, распределение случайных погрешностей измерения отвечает закону Гаусса. Поэтому точность ряда измерений одной и той же детали на данном контрольном приспособлении характеризуется величиной средней квадратической погрешности а, которая может быть подсчитана по формуле

Немецкий математик Гаусс, живший в XIX веке, установил законы, которым подчиняется распределение случайных погрешностей. График, изображающий этот закон, представляет колоколообразную кривую (рисунок 95,а), называемую «кривой Гаусса».

Фиг. 1. Симметрическое распределение случайных величин в биномиальном законе.

Фиг. 2. Симметрическое яр — q =5-(1/2) — (1/2) = 2; пр + р = 5-(1/2) + распределение случайных +(1/2) = 3, т. е. числа 2 и 3 — наивероятнейшиа величин в биномиальном числа появлений события. Их вероятности одина-законе. ковы (си. выше пример 1) и самые большие.

2) важную роль играет распределение случайной величины, равной квадратному корню из ХЦ - квадрат случайной величины с двумя степенями свободы (Х2), которое называется распределением Рэлея;

пределение Гаусса, — распределение случайной величины X, характеризуемое плотностью вероятности:

Распределение случайной величины

Если распределение случайной величины не противоречит нормальному закону, то установив относительную ошибку определения среднего арифметического т, можно определить минимальный объем выборки п, который будет равен $)

где G (х) = Р{ц^х] -распределение случайной величины ц.

Это следует из того, что в предельном случае, когда все п типов элементов имеют идентичные законы распределения времени работы до отказа со средним Т° и средним квадратическим 0°, распределение случайной величины ?* (X) будет иметь медиану в точке

где Т - период диагностирования; FT (Т) - распределение случайной величины Т; Е - область возможных значений Т.

линомов Эрмита; при показательном законе на полупрямой — к системе полиномов Лагерра, при законе равной вероятности на отрезке — к системе полиномов Лежандра [47]. Если распределение случайной величины х сосредоточено на интервале конечной длины х \ < а, то в качестве системы функций ?v (я) можно принять систему тригонометрических функций [47]

Исчерпывающей (полной) теоретической характеристикой случайных величин является их закон распределения, задаваемый в дифференциальной или интегральной форме. Закон распределения устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Распределение каждой случайной величины соответствует вполне определенному закону. Во многих практических задачах вместо полных теоретических характеристик случайных величин можно ограничиться более простыми характеристиками, определяющими не все распределение случайной величины в целом, а только некоторые наиболее существенные его черты. Такие частичные теоретические характеристики распределений случайных величин называются их числовыми характеристиками. Минимально необходимыми числовыми характеристиками для одномерных величин являются:

Если распределение случайной величины представить (в механической аналогии) как распределение некоторой массы («массы вероятности»), то при дискретных случайных величинах эта масса окажется сосредоточенной в некотором числе отдельных точек.

Плотность вероятности ф (а) может рассматриваться как распределение случайной величины а, например, как распределение размеров партии деталей при сильном систематическом изменении их за время изготовления и при пренебрежимо малом мгновенном рассеивании. При этом предполагается, что детали из партии берутся наудачу. Формально эта схема соответствует распределению величины а = / (t) как функции случайной величины t, равномерно распределенной в интервале (0, 1) (см. также п. 4.2).