Распределенными постоянными

полупроводниковых приборов все чаще применяются электронно-механические приборы времени (рис. В.6), использующие механические осцилляторы с распределенными параметрами (струны, стержни, пластины, камертоны). Известно, что осцилляторы с распределенными параметрами по своим характеристикам существенно превосходят осцилляторы с сосредоточенными параметрами.

можные резонансные режимы три известных частотах возмущений, действующих на стержень, и варьированием конструктивных параметров стержня их избежать. При проектировании упругих элементов (задачи синтеза), например частотных датчиков стержневого типа (рис. В. 7 — В.9), требуется определить размеры стержня при заданных механических характеристиках материала стержня, чтобы, например, первая частота была равна заданной. Точность работы приборов времени, использующих упругие стержневые элементы, во многом зависит от точности расчета спектра частот упругого элемента. Формы колебаний дают возможность решать приближенными методами сложные задачи динамики стержней, как линейные, так и нелинейные. В настоящее время разработано много методов определения частот систем с распределенными параметрами, которые можно разделить на две группы: точные и приближенные. В свою очередь, точные методы включают в себя: 1) точные аналитические методы, например метод Фурье для решения линейных уравнений, допускающих разделение переменных как для уравнений с постоянными коэффициентами, так и для уравнений с переменными коэффициентами, решение которых может быть представлено в специальных функциях, и 2) точные численные методы (например, метод начальных параметров, метод прогонки и т. д) . В тех случаях, когда требуется определить только частоты колебаний стержня, более эффективными являются приближенные методы, например метод, использующий принцип возможных перемещений.

ний, сформулированным для задач статики. Принцип возможных перемещений утверждает (применительно к системам с распределенными параметрами), что если система находится в равновесии под действием приложенных сил (включая и силы инерции), то сумма элементарных работ внешних и внутренних сил на возможных малых перемещениях, совместимых со связями, наложенными на систему, равна нулю. Возможными перемещениями для пространственно-криволинейных стержней называются малые перемещения точек осевой линии стержня (вектор 6и) и малые углы поворота связанных осей (вектор бд) при отклонении стержня от исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стержень.

Все это делает весьма актуальным рассмотрение упрощенных моделей, позволяющих рассчитывать интегральные характеристики процессов теплообмена и описываемых системами алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. В дальнейшем такие модели будем называть моделями с сосредоточенными параметрами, отделяя их тем самым от моделей с распределенными параметрами, которые учитывают пространственные распределения физических величин.

2. Колебания упругой системы с одной степенью свободы. Математическое описание упругих колебаний тела может быть сделано посредством неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных. Однако во многих случаях упругие системы с распределенными параметрами при некоторых условиях могут быть заменены системами с сосредоточенными параметрами, движение которых описывают системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Замена системы с распределенными параметрами системой с параметрами сосредоточенными возможна всегда, если в условиях данной задачи одни части тела можно считать абсолютно жесткими, а другие — упругими, но лишенными массы. Тогда упругая система распадается на совокупность твердых неупругих тел, соединенных упругими связями, не имеющими

Нужно, однако, обратить внимание на то, что, заменяя систему с распределенными параметрами системой с сосредоточенными, мы заменяем действительную систему воображаемой, лишь более или менее похожей на действительную. Сходство (или несходство) обеих систем зависит от природы изучаемого явления, т. е. от содержания решаемой задачи. Вот почему важна сделанная выше оговорка о том, что колебания происходят медленно. Сказанное станет понятнее из последующего.

нии. Как и системах с конечным числом степеней свободы (свободных координат), колебания систем с распределенными параметрами имеют нормальные формы. Эти формы зависят от конфигурации опирания. На рис. 8.24 колебаний тонкого

систем с конечным числом координат. Поэтому для каждой формы колебаний упругой системы с распределенными параметрами существует состояние резонанса, когда амплитуда колебаний опасно увеличивается.

Звуковые волны, падая на ограждение, приводят его в колебание. Ограждение любого вида, являясь системой с распределенными параметрами, т. е. системой, имеющей бесконечный ряд собственных частот со все возрастающей плотностью, приходит в состояние вынужденных колебаний. В тех областях, где частота вынужденных колебаний близка к частоте собственных колебаний ограждения, наступают резонансные явления, и ограждение работает менее эффективно, т. е. звукоизоляция его понижается. Звуковая энергия в соседнем (тихом) помещении возникает и передается в воздух от колебаний поверхности, на которую со стороны источника действует переменная периодическая сила звуковых волн, падающих во всех направлениях на ограждение.

Такого рода аппроксимация вполне справедлива, если речь идет об инфразвуковых частотах и низких частотах звукового диапазона. Если же рассматривать более высокочастотную часть, то упругие прокладки, представляя собой колебательные системы с распределенными параметрами, будут иметь целые ряды форм собственных колебаний с собственными частотами.

С. П. Алексеевым был предложен успокоитель колебаний пластин, имеющий форму струн, укрепленных на двух опорах на колеблющейся поверхности. На рис. 50 представлена схема этого успокоителя с распределенными параметрами.

Нагрузки, действующие на рассчитываемую деталь, бывают сосредоточенными и распределенными, постоянными и переменными. Последние бывают переменными только по величине и переменными по величине и направлению. Изменение нагрузки может происходить незакономерно или закономерно (циклически) через определенные промежутки времени — периоды.

В те же 30-е годы зародилось и получило развитие еще одно направление, преследующее цели использования в генераторных схемах колебательных систем с высокой добротностью (в частности, для ультракоротковолновых схем — колебательных цепей с распределенными постоянными). Эти вопросы были исследованы Б. К. Шембелем (1931 г.), Б. А. Введенским, Г. М. Михайловым и А. П. Скибарко (1934 г.), Б. К. Майбаумом и Н. В. Осиновым (1935 г.).

Если в схеме, относящейся к звену № 2 (табл. VII.2), заменить упругий элемент С, R призматическим упругим элементом с распределенными постоянными, а массы М1 и М2 считать соответственно амортизированным объектом и его фундаментом, то при расчетной оценке эффективности амортизации в полученной принципиальной схеме амортизатору могут быть приписаны характеристические коэффициенты (VII. 175). Для случая, когда трение отсутствует (к = Ь), теоретическая кривая виброизоляции представлена на рис. VII.9. Первый (слева) провал этой кривой приходится на низшую частоту свободных колебаний системы. Все последующие провалы обусловлены волновыми резонансами в призматическом упругом элементе амортизатора. Каждому такому резонансу соответствует частота, при которой на длине I призматического упругого элемента укладывается целое число полуволн продольных колебаний. 328

Известно [2], что пассивные механические двухполюсники могут быть представлены на-эквивалентной электрической схеме некоторым числом LC-контуров. На рис. 8 параллельно массам ти и тн источника и нагрузки включены последовательные LC-контуры, имитирующие резонансы в системах с распределенными постоянными. В ранее рассмотренных случаях выбиралась достаточно большая постоянная времени Т #С-фильтра, так что область отрицательного сопротивления (соIK) Re [zn (I + /С/)] <0 умещалась целиком в низкочастотном диапазоне, где 2№ л;/соти. Очевидно, при этих условиях устойчивость определяется условиями на первой критической частоте

В действительности элемент массы не является материальной точкой, а представляет собой тело конечных размеров, которое обладает не только массой, но и определенной упругостью. Деформация такого тела сопровождается потерями на внутреннее трение. Следовательно, в общем случае одно и то же тело имеет массу, упругость и активное сопротивление, которые неразрывно связаны между собой и не могут быть разделены. Системы, где каждый элемент рассматривается как обладающий всеми тремя из названных характеристик, разделить которые невозможно, называются системами с распределенными постоянными.

Если в какой-либо точке упругой среды действуют переменные силы, то в этой среде возникают переменные деформации, смещения и напряжения, которые распространяются от точки возмущения в виде упругой волны, движущейся с определенной скоростью в пространстве. Таким образом, колебания происходят не только во времени, но и в пространстве. При этом частицы среды колеблются относительно положения равновесия. Простейший пример колебательной системы с распределенными постоянными - тонкий длинный продольно колеблющийся стержень.

Свободные колебания происходят на собственных частотах, значения которых определяются параметрами колебательной системы. Системы с сосредоточенными постоянными с одной степенью свободы (груз на пружине, маятник) имеют одну собственную частоту, более сложные системы - несколько таких частот, а системы с распределенными постоянными — множество (теоретически бесконечное количество) собственных частот. В режиме вынужденных колебаний при совпадении частоты возмущающей силы с собственной частотой системы амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Продольно-колеблющийся стержень представляет собой простейшую систему с распределенными постоянными. Предполагается, что поперечные размеры стержня много меньше длины волны, поэтому расхождение отсутствует и волны можно считать плоскими. В этом случае ослабле-

Пластины, как и стержни, являются системами с распределенными постоянными и имеют множество собственных частот. Простейшая модель — круглая пластина, определенным образом закрепленная по периметру и возбуждаемая в центре

Основные элементы механических колебательных систем с сосредоточенными постоянными — масса т, гибкость К и активное сопротивление R. Гибкость представляет собой величину, обратную жесткости. В литературе используют также эквивалентные гибкости термины: податливость, сжимаемость, упругость. Параметры механических колебательных систем с распределенными постоянными — волновое сопротивление W = Spc, постоянная распространения у = Ъ + jk, геометрические размеры и форма (в частности, для стержня длина /). Элементы электрических цепей с сосредоточенными постоянными - индуктивность L, емкость С и активное сопротивление R. Основные параметры электрических цепей с распределенными постоянными (длинных линий) -

ницу длины. Таким образом, структура выражений для W и Е, одинакова. Поэтому существует полная аналогия между волновыми сопротивлениями для электрической линии и продольно колеблющегося стержня. Такое же соответствие имеется между постоянными распространения электрической и механической систем с распределенными постоянными.

Метод электромеханических аналогий применим к системам, содержащим элементы с сосредоточенными и распределенными постоянными, а также к комбинированным системам, включающим в себя те и другие элементы. Кроме того, сама структура эквивалентной схемы помогает качественно оценить поведение анализируемой системы в различных условиях (например, при различных нагруз-