Рассмотрим уравнение

Рассмотрим уравнения (55), в которых Q1 (t) определяется выражением (59), a Q2 = Q3= ••• =Qn = 0- Нас интересует частное решение такой системы дифференциальных уравнений. Зная это решение и учитывая формулу (60), можно выделить в полученном решении мнимую часть и найти истинные вынужденные колебания.

Произвольные силы. Рассмотрим уравнения нулевого приближения при произвольных силах, приращения которых линейно зависят от векторов обобщенных перемещений [соотношения (1.99)]. Ограничимся уравнениями в связанных осях [уравнения (1.112) —(1.115)]

Интегрирование уравнений равновесия первого приближения. Рассмотрим уравнения первого приближения, например уравнения (1.164) — (1.167) для «мертвых» сил, когда приращения Aq, Да, ДР<(') и ДТ^> не равны нулю. Систему линейных уравнений (1.164) — (1.167) можно представить в векторной форме:

Рассмотрим уравнения нулевого, первого и второго приближений. Нагрузки, приложенные к стержню, следящие.

Уравнения равновесия в связанных осях. Прежде всего необходимо оценить нелинейные слагаемые, входящие в векторные уравнения (4.49) и (4.50). Чтобы выяснить, как поступать с нелинейными слагаемыми, рассмотрим уравнения (4.49) — (4.50) в проекциях на связанные оси:

Рассмотрим уравнения (4.60) и (4.61), которые с учетом (4.62) имеют вид

Решение уравнений равновесия для стержня переменного сечения. Рассмотрим уравнения равновесия (4.138) — (4.141) стержня переменного сечения, лежащего на упругом основании. Решить эти уравнения можно только численными методами, поэтому представим систему (4.138) — (4.141) в виде векторного уравнения

Рассмотрим уравнения (5.11) и (5.16), которые, если ввести новое неизвестное 1^з1 = 19'з+^зо, можно преобразовать к виду

Если поток жидкости стационарный, то w = wo=consi. Рассмотрим уравнения (9.18) для этого случая. В проекциях на связанные оси получаем систему уравнений

Для нахождения величины а нужно знать положение нейтрального слоя или радиус кривизны р. Рассмотрим уравнения равновесия а, д, е из системы (12.1).

Затухающие колебания. Рассмотрим уравнения движения подвижной системы, совершающей затухающие колебания, для случая, когда силы сопротивления пропорциональны скорости q в первой степени. Этот случай колебаний представляет наибольший интерес, так как он имеет место в большинстве механизмов с успокоителями. Обозначая силу сопротивления через F = f(q) и учитывая, что она направлена в сторону, противоположную скорости движения подвижной системы, из уравнения Лагранжа получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Рассмотрим уравнение (16.7). Имеем

? ' . Зависимости отдельных параметров эвольвенты круга между собой особенно ясны, если мы рассмотрим уравнение эвольвенты. Пусть задана окружность радиуса гь и прямая t — t, касательная к окружности в точке Мп (рис. 22.8). При качении прямой t — t по окружности точка прямой Mt описывает эвольвенту МПЭ. Для точки М эвольвенты имеем

Рассмотрим уравнение (15.11) в приложении к колебаниям вала для простейшего случая (рис. 15.8). Здесь на валу, вращающемся с угловой скоростью сов, закреплен диск массой т с эксцентриситетом е. Собственную массу вала считаем малой по сравнению с т и п расчет не принимаем (упругая система а одной степенью свободы). Из вал действует центробежная сила

В заключение рассмотрим уравнение (7.19). Из него следует, что коэффициент трения f,, определяющий значение угла трения фт, оказывает большое влияние на к.п.д. Эта зависимость наглядно показана на рис. 7.14 (при 7 = 30°) для разных видов трения и смазки: / — трение без смазочного материала т) = 5...40%; // — граничная смазка т) = 50...70%; /// — гидродинамическая и гидростатическая смазка П = 90...97%; IV -- трение качения* т] = 98...99%.

Для анализа движения перпендикулярно магнитному полю рассмотрим уравнение (48.56). Имеем

Уравнения равновесия первого приближения в связанной системе координат. Рассмотрим уравнение (1.94), в котором положим Q=Q(0)+Q(D; х=Хо-_дх(0)+дх(1); р=Р0+ДР(о>+ЛР(1\

Для определения Qi(e) рассмотрим уравнение (5.138) при q\ =0, из которого следует

Рассмотрим уравнение (2.22), которое надо записать в базисе {}/}. Положить в уравнении (2.22) М=МЖ и х=хж нельзя, так как при выводе уравнения (2.22) использовались связанные оси. Уравнение (2.22) в представленной форме записи справедливо только в связанных осях, поэтому следует вектор М представить через компоненты в декартовых осях, т. е. воспользоваться преобразованием Ме = и1>Мж. Переходя в уравнении (2.22) к вектору Мж, получаем

Рассмотрим уравнение для вектора перемещений точек осевой линии стержня

Рассмотрим уравнение случайных колебаний стержня (6.24), приближенное решение которого ищем в виде (6.25). В результате получаем систему уравнений, аналогичную (6.26), для стержня (см. рис. 6.6), нагруженного силой АР и моментом AT:

Рассмотрим уравнение (9.13), из которого после подстановки выражений (9.31) для w и Р получаем три уравнения: