Равновесия элементов

Из условий равновесия элементарного параллелепипеда жидкости, выделенного вблизи точки с координатами х и у (рис. 38, в), имеем

§ 5.3. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра .......... 384

§ 5.3. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра

Составим уравнения равновесия элементарного тетраэдра. Равенство нулю суммы проекций на ось х всех сил, действующих на тетраэдр, имеет вид

В § 5.2 из условий равновесия элементарного параллелепипеда, вырезанного из напряженного тела в окрестности произвольной точки С (рис. 5.1, а), были составлены три из шести уравнений, а именно равенства нулю сумм моментов всех сил, действующих на параллелепипед, относительно трех некомпланарных осей. В результате было получено три зависимости (5.1), выражающие аналитически закон парности касательных напряжений. Составим остальные три уравнения равновесия элементарного параллелепипеда — равенства нулю сумм проекций всех сил, действующих на параллелепипед, на три некомпланарные оси.

Условия равновесия на поверхности (9.2) (уравнения равновесия элементарного тетраэдра) приобретают вид

4. Третий этап решения задачи. Выясним, каким нагрузкам на поверхности рассматриваемого бруса отвечают функции (11.32) и сопоставим их с интересующими нас, для того чтобы установить, является ли система функций (11.32) решением именно нашей задачи. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра (9.2) позволяют найти составляющие поверхностной нагрузки на торцах и боковой поверхности бруса, для чего, кроме компонентов напряжений (11.32), необходимо знать I, т и и — направляющие косинусы нормалей к площадкам, лежащим на торцах и боковой поверхности.

Уравнения равновесия элементарного тетраэдра (9.2) позволяют найти составляющие поверхностной нагрузки на всех гранях бруса, для чего, кроме компонентов напряжений (12.22), необходимо знать /, т и п — направляющие косинусы нормалей к площадкам, лежащим в этих гранях.

Здесь x = XPz — вектор массовых сил, 6u = {8udv8w\ — вектор приращений составляющих перемещения за отрезок времени Ы. Если вместо pv подставить выражение, соответствующее уравнениям равновесия элементарного тетраэдра (15.16) pv = Do, то получим

Если речь идет о задаче теории упругости, то возможные вариации напряжений и объемных сил удовлетворяют во всем объеме тела дифференциальным уравнениям равновесия элемента тела и закону парности касательных напряжений (который также представляет собой три условия равновесия), а на той части поверхности тела, где заданы поверхностные силы, — вариации напряжений и поверхностных сил удовлетворяют уравнениям равновесия элементарного тетраэдра.

6. Вариационный принцип Кастильяно. Пусть и и Е относятся к одному состоянию тела, т. е. известно решение (15.19) уравнений совместности деформаций Сен-Венана или, иначе, удовлетворены уравнения Коши, а вместо х, о и pv рассматриваются их вариации бх, 60 и 6pv, которые считаем возможными, т. е. удовлетворяющими дифференциальными уравнениями равновесия в области и уравнениям равновесия элементарного тетраэдра на границе тела

Анализ отношения тшах/ашах показывает, что максимальные касательные напряжения на поверхности раздела могут достигать ^гаах ~ 0,1 -г-0,30В и превышать предел текучести матрицы. В этом случае матрица пластически деформируется, и эпюры напряжений будут такими, как это показано на рис. 1, в. При небольшой растягивающей нагрузке изменение касательных напряжений определяется упругим поведением матрицы. По мере увеличения нагрузки максимальные значения ограничиваются пределом текучести матрицы т,. Таким образом, упругопластическое поведение матрицы представляется более вероятным в процессе работы композиции. За пределами упругой области длина передачи нагрузки и, следовательно, /кр зависят от напряжения разрушения волокна. Эту зависимость легко получить из уравнения равновесия элементов волокна и матрицы в предположении равенства т пределу текучести матрицы тт:

Для некоторых типов опор прямого вала постоянного сечения функцию Грина (функцию влияния) можно определить по табл. 2 (см. aft(-). Другие закономерности, определяющие прогиб вращающегося вала, получают исходя из условия равновесия элементов вала. Обозначим опять через т(х) погонную массу «диска», закрепленного на валу. Если у(х)—прогиб вала в точке х, то элементарная центробежная сила будет

и условия равновесия элементов вала выражаются в форме

Решение упругой задачи сведено к системе 20-линейных алгебраических уравнений, выражающей условия равновесия элементов диска в перемещениях:

Кинетика фазовых переходов, так же как и кинетика любых иных явлений, выходит за рамки собственно квазистационарной термодинамики. В вопросах изменения агрегатных состояний термодинамика ограничивается рассмотрением равновесных систем, которые включают в себя уже сформировавшуюся новую фазу. Сам же ход формирования как микро-, так и макроскопических частиц вновь образующейся фазы, их роста и накопления остается за пределами анализа. В границах термодинамических представлений, как указывает Я- И. Френкель [Л. 50], под температурой агрегатного перехода (при заданном давлении) понимается не та температура, при которой фактически начинаются фазовые превращения, а та, при которой микроструктурные изменения, приводящие к возникновению новой фазы, прекращаются и система приходит в стабильное состояние. Очевидно, что и в стабильной системе изменение количественного соотношения между газообразной и конденсированной фазами возможно лишь при некотором нарушении взаимного равновесия элементов системы. Квазистационарная термодинамика допускает такие отклонения, однако каждое из них должно быть исче-зающе мало. Это означает, что изменения макроскопического масштаба могут происходить лишь на протяжении бесконечно больших отрезков времени, во всяком случае по сравнению со временем восстановления нарушенного равновесия. В действительности же, как это отмечалось ранее, в быстротекущих процессах (например, при движении в условиях больших продольных градиентов давления) скорость изменения состояний среды, вызываемая внешними воздействиями, оказывается вполне сопоставимой со скоростью развития внутренних процессов, ведущих к восстановлению равновесия системы. Следует отметить, что особенно значительные нарушения равновесного .состояния происходят в период зарождения новой фазы и начала ее развития. Мы здесь рассмотрим некоторые элементы процесса формирования конденсированной фазы, во-первых, ввиду его большого практического значения, во-вторых, для того, чтобы несколько осветить физическую картину явлений, приводящих в конечном счете к термодинамически устойчивому двухфазному состоянию.

выражающие принцип детального равновесия элементов системы. Из сочетания (4-11) с (4-8) находим:

Рассмотрим другую трактовку МКЭ, соответствующую методу перемещений при решении задач теории упругости. Будем считать, что элементы взаимодействуют между собой лишь в узловых точках. Решение задачи проведем по следующей схеме. Выделим отдельные элементы и в узловых точках приложим силы реакций отброшенных частей. Для заданной аппроксимации перемещений в пределах элемента, используя принцип возможных перемещений, получим уравнения равновесия элементов и определим связь сил реакций с перемещениями узлов элемента и внешними нагрузками, действующими на элемент. Далее соединим в узлах элементы и запишем условия равновесия отдельных узлов. Для этого приравняем нулю для каждого узла сумму сил реакций от отдельных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу. Полученная система алге* браических уравнений позволит определить неизвестные узловые

ние упрочняющего действия волокна наблюдается в том случае, если напряжения в волокне не достигнут предела прочности cj . Критическое значение длины волокна определяют га уравнения равновесия элементов волокна и матрицы:

При анализе предельного равновесия элементов конструкций в качестве внутренних параметров состояния принимают обобщенные внутренние силовые факторы и скорости обобщенных перемещений. Условие пластичности и ассоциированный закон течения также формулируют в обобщенных факторах. Примеры использования статической и кинематической теорем приведены в работах [10, 26, 43].

В теории пластичности получили некоторое развитие методы оценки устойчивости упругопластического равновесия элементов конструкций, основанные главным образом на критериях устойчивости, хорошо зарекомендовавших себя в упругой области. Однако применение этих критериев пр,и решении технологических задач обычно сопряжено с -большими-математическими трудностями, обусловленными тем, что при обработке металлов давлением и резанием возникают большие деформации и перемещения. В связи с этим получила распространение инженерная теория устойчивости пластического деформирования, исходящая из приближенных критериев.

Расчет тормоза с электрогидравлическим приводом. При заданном тормозном моменте Мт необходимую силу замыкающей пружины определяют из условия равновесия элементов рычажной системы тормоза (см. рис. 95). Горизонтальную силу замыкания Р, приложенную к верхнему шарниру тормозных рычагов, определяют по той же зависимости, что и для тормоза с приводом от электромагнита.