Равновесия безмоментной

Термодинамические параметры могут быть рассчитаны лишь для таких процессов, которые можно представить в виде последовательности бесконечно малых изменений состояния системы, при условии, что в каждом из промежуточных состояний отклонение системы от термодинамического равновесия бесконечно мало. ,

т. е. переведем внутренние силы в категорию внешних по отношению к частям бруса. Из бесчисленного количества для каждого сечения статически возможных эпюр ог действительными являются лишь эпюры (по одной в каждом сечении), которым соответствует согласованная деформация отдельных частей бруса. Подразумевается, что при согласованной деформации из отдельных, уже подвергнутых деформации, частей можно составить сплошной стержень (рис. 2.4 и 2.5). Согласованность деформации иначе можно назвать совместностью деформаций. Условия совместности деформаций являются теми дополнительными, которые вместе с условиями равновесия бесконечно малого элемента тела с размерами dx, ay и dz (см. гл. V) позволяют найти величину и закон распределения усилий в теле. Пояснение этого положения дано на рис. 2.6. Разумеется, при этом надо знать закон, связывающий напряжения с деформациями.

Формулу для тг (г, s) можно вывести и иначе, не пользуясь дифференциальным уравнением равновесия бесконечно малого элемента стержня с размером б, ds и dz (14.18) с последующим его интегрированием, а рассматривая непосредственно равновесие элемента, заключенного между точками Мг и М, имеющего один бесконечно малый размер вдоль оси z (см. рис. 14.12). Заметим, что если рассмотреть равновесие отсеченной части элемента между точками М и Mk, то получим формулу для тг^ (г, s), эквивалентную формуле (14.24),

Рассмотрим, как можно получить и использовать линеаризованные уравнения на знакомых простейших примерах. В первом примере тривиальное исходное состояние равновесия ф = О можно считать известным и без решения полного нелинейного уравнения. Найдем условия существования других состояний равновесия, бесконечно близких к этому исходному. В данном случае найдем условие равновесия стержня, отклоненного от вертикали на бесконечно малый угол фц (рис. 1.14, а). Угол фх считаем бесконечно малым и в уравнении равновесия учитываем только те слагаемые, которые содержат этот угол в первой степени (отсюда и название «линеаризованное уравнение»). Тогда можно записать Р/фх = &фх, или

В главе приведены уравнения равновесия бесконечно малого объемного элемента сплошной среды, находящегося под действием приходящихся на него внешних объемных сил, а также поверхностных усилий взаимодействия со стороны прилегающей к рассматриваемому объемному элементу оставшейся части сплошной среды. Все выводы основаны лишь на законах статики и геометрических построениях. Поэтому содержание настоящей главы справедливо для любых сплошных сред независимо от их механических свойств.

Из условий равновесия бесконечно малой пирамиды, боковые грани которой параллельны координатным плоскостям, а основанием явля-

Далее рассмотрим равновесия бесконечно малого элемента длиной ds изолированной жилы. На рис. 5.9 показан этот выделенный элемент в проекциях на плоскости xz и ху.

Для определения сгг и crt составим условие равновесия бесконечно малого элемента ABCD (рис.22.2). Спроектируем все устойчивые силы на направление вдоль радиуса цилиндра.

Эти уравнения имеют простой механический смысл; они являются дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малого элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения (элемента скольжения; фиг. 52), которая является как бы естественной координатной сеткой данной задачи.

Статический критерий устойчивости состоит в следующем. Рассматриваются состояния равновесия, бесконечно близкие к исходному (основному, «тривиальному») состоянию равновесия. При некотором значении нагрузки возможна наряду с основной формой равновесия другая форма. Иными словами, при одной и той же нагрузке могут осуществляться различные формы равновесия (точка бифуркации, разветвления форм равновесия). Подобное состояние и может рассматриваться как переходное от устойчивого равновесия к неустойчивому. Наименьшая нагрузка, при которой возможны, различные формы, равновесия, называется критической.

Формулы (6.39) получены из условия равновесия бесконечно малого криволинейного треугольника abc (рис. 6.9) :

усилия Т*, Тд, S°, удовлетворяющие уравнениям равновесия безмоментной теории оболочек:

Уравнения равновесия безмоментной теории получаются, если в уравнениях (3.22) и (3.24) опустить поперечную силу. Тогда из этих уравнений можно непосредственно определить интенсивности сил

Уравнения равновесия безмоментной теории можно получить из уравнений (5.59), опустив в них члены, содержащие моменты:

Уравнения равновесия безмоментной теории (6,4) в этом случае существенно упрощаются:

14. Бидерман В. Л., Бухин Б. Л. Уравнения равновесия безмоментной сетчатой оболочки. — «Изв. АН СССР. Механика твердого тела», .1966, № 1, с. 81—89.

Общие уравнения равновесия безмоментной оболочки можно получить из соотношений;

Первые слагаемые отнесены к форме основного состояния и считается, что они получаются из уравнений равновесия безмоментной теории оболочек при поверхностных нагрузках /ю, /у), J^Q- Полные составляющие поверхностных сил также разделяются на две части:

Выражением составляющих деформаций через перемещения с помощью уравнений Остроградского-Гаусса получены уравнения равновесия безмоментной линейной теории оболочек. Во втором слагаемом (9.9.45) учитываются только дополнительные силы, а также силы основного состояния на деформации и углы поворота, умноженные на вариации деформаций:

Уравнения равновесия безмоментной теории получаются, если в уравнениях (3.22) и (3.24) опустить поперечную силу. Тогда из этих уравнений можно непосредственно определить интенсивности сил

Уравнения равновесия безмоментной теории можно получить из уравнений (5.59), опустив в них члены, содержащие моменты:

Уравнения равновесия безмоментной теории (6.4) в этом случае существенно упрощаются: