Равновесия конструкции

1. Общие понятия об устойчивости (216). 2. Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению (219). 3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения (221). 4. Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры (225). 5. Устойчивость равновесия диссипативной системы. Функция Ляпунова (230). § 6. Движение консервативной системы в малой окрестности положения равновесия (в линейном приближении)........... 236

4. Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые1) и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет

и в том случае, когда система отличается от консервативной наличием гироскопических сил. Действительно, добавление гироскопических сил не меняет ни положения равновесия 1), ни того факта, что энергия системы сохраняется во время движения2). При доказательстве теоремы использовался лишь этот факт безотносительно к тому, по каким причинам он имеет место.

Теорема Лагранжа определяет лишь достаточный признак устойчивости равновесия консервативной системы: если положе-

нию равновесия соответствует строгий минимум функции V (q), то оно устойчиво; однако устойчивыми могут быть положения равновесия, которые не совпадают с точками строгого минимума функции V (q). Необходимые и достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы до сих пор не найдены. В связи с этим предлагались различные достаточные признаки неустойчивости консервативных систем. Ниже приводятся без доказательства три теоремы, устанавливающие признаки такого рода.

Вторая теорема Ляпунова. Если в положении равновесия консервативной системы функция V (q) имеет строгий максимум и это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов наименьшей степени т S= 2 в разложении V (q) в ряд по степеням q, то это положение равновесия неустойчиво.

Положение равновесия консервативной системы устойчиво, -если ее полная потенциальная энергия имеет в этом положении минимум.

1°. Если в положении равновесия консервативной системы полная потенциальная энергия не имеет минимума и это усматривается по членам второй степени разложения энергии, то данное положение неустойчиво.

2°. Если в положении равновесия консервативной системы полная потенциальная энергия имеет максимум и это усматривается по членам низшей степени разложения энергии, то данное положение неустойчиво.

Согласно теореме Лагранжа состояние равновесия консервативной механической системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна [40]. Необходимое условие минимума полной энергии записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа: в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами: геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле.

вестных) г — ранг матрицы А, л, — ранг расширенной матрицы А0 =