Равновесия перестает

Из условия равновесия отсеченной части болта (рис. 20, б)

Второе уравнение для определения напряжений вытекает из условия равновесия отсеченной части оболочки (см. рис. 42, в)

Для расчета пружин на прочность и жесткость надо в первую очередь определить внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях ее витков. Применим метод сечений — рассечем пружину (рис. 284, а) плоскостью, проходящей черее ее ось v. He учитывая угла наклона витков пружины (этот угол для рассматриваемых пружин невелик — ск!5°), будем считать, что проведенное сечение совпадает с поперечным сечением витка. Рассматривая условия равновесия отсеченной частиЪружины (рис. 284,6), приходим к выводу, что в проведенном сечении должна возникнуть сила Q, численно равная действующей на пружины осевой нагрузке Р и направленная противоположно ей. Но силы Р и Q образуют пару силы и, следовательно, в рассматриваемом сечении должна возникнуть также пара сил (момент относительно оси z), уравновешивающая указанную пару. Этот момент, действующий в плоскости поперечного сечения витка, показан на рис. 284, б. Итак, в поперечном сечении витка пружины возникают поперечная сила Q=P и крутящий момент MK=P-0,5D, где D — средний диаметр пружины.

Для расчета пружины на прочность и жесткость надо в первую очередь определить внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях ее витков. Применим метод сечений — рассечем пружину (рис. 2.83, а) плоскостью, проходящей через ее ось и. Не учитывая угла наклона витков пружины (этот угол для рассматриваемых пружин невелик: a ==s; 15°), будем считать, что проведенное сечение совпадает с поперечным сечением витка. Рассматривая условия равновесия отсеченной части пружины (рис. 2.83, б), приходим к выводу, что в проведенном сечении должна возникнуть сила Q, численно равная действующей на пружину осевой нагрузке Р и направленная противоположно ей. Но силы Р и Q образуют пару сил и, следовательно, в рассматриваемом сечении должна возникнуть также пара сил (момент относительно оси г), уравновешивающая указанную пару. Этот момент, действующий в плоскости поперечного сечения витка, показан на рис. 2.83, б. Итак, в поперечном сечении витка пружины возникают поперечная сила Q = Р и крутящий момент Мк = Р-0,51), где D — средний диаметр пружины.

Во всех рассмотренных ранее задачах внутренние силовые^фак-торы определялись с помощью метода сечений из условия равновесия отсеченной части бруса.

Пока закон изменения напряжения по площади поперечного сечения неизвестен, интегралы в формулах (5.1) нельзя вычислить. Однако их значения можно найти из условий равновесия отсеченной и оставшейся после отсечения частей стержня. Для этого следует перенести все внешние силы и моменты (включая силы реакций опор), действующие на отброшенную часть стержня, в центр тяжести сечения. При таком переносе возникнут пары сил, совокупность которых образует крутящий и изгибающие моменты.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Проведем два сечения А А' и Б Б' (рис. 5.10, а), перпендикулярных оси стержня и удаленных одно от другого на dz. Отсечем верхнюю часть получившегося элемента от нижней плоскостью ВВ', параллельной оси стержня. Предположим, что с увеличением координаты z увеличивается также и изгибающий момент М, а с ним и нормальное напряжение а. Тогда каждое волокно, удаленное от нейтрали на расстояние у, испытывает справа напряжение а + da большее, чем о слева. Поэтому слева на отсеченную часть ABB'Б будет действовать сила N', a справа — сила N' + dN'. Для равновесия отсеченной части необходимо, чтобы на нее в плоскости ВВ' действовала элементарная сдвигающая сила йТ. Найдем эту силу.

Из условия равновесия отсеченной части болта (рис. 20, б)

Второе уравнение для определения напряжений вытекает из условия равновесия отсеченной ласти оболочки (см. рис. 42, в)

Особенностью двутавра, как тонкостенного открытого профиля, является то, что при изгибе в плоскости Оуг компонент т^ в стенке почти точно совпадает с полным напряжением т*** в полках же компонентом т^> можно пренебречь вообще; в них наиболее существенным компонентом, также почти точно совпадающим с полным напряжением Т(У\ является т<*'. Иными словами, в тонкостенном открытом профиле, в частности таком как двутавр, с большой степенью точности можно считать, что полное касательное напряжение направлено параллельно оси контура. В стенке это т^>, а в полках т^>. Для отыскания т<»> в полках двутавра выполняется операция, аналогичная той, которая была использована при выводе формулы (12.40). С этой целью от элемента балки, заключенного между сечениями 1—/ и 2—2 с координатами г и z-fdz (рис. 12.28, а) отрежем часть полки и рассмотрим равновесие ее, имея в виду, что в сечении /—/ балки действует изгибающий момент Мх, а в сечении 2—2 — Mx-\-dMx, Уравнение равновесия отсеченной части полки имеет вид

Из условия равновесия отсеченной части болта (фиг. 23, б) получается

Если же центральную сжимающую силу увеличивать, то при некотором ее значении прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой. В этом случае достаточно бесконечно малого

Если увеличивать силу Р, то после достижения ею некоторого значения равновесие стержня становится безразличным. Нагрузка, при которой начальная форма равновесия перестает быть устойчивой, называется критической. В этом положении действие небольшой поперечной силы, либо каких-то других факторов (эксцентричность приложения силы Р, первоначальные прогибы стержня, неоднородность его материала и т. п.), вызывает непрерывно увеличивающийся прогиб стержня, причем после устранения причины, вызвавшей первоначальный прогиб, стержень не возвращается в первоначальное прямолинейное положение и остается изогнутым. Следовательно, при действии критической силы стержень может находиться в равновесии, будучи либо прямолинейным, либо сохраняя слегка изогнутую форму.

Поведение системы при увеличении силы следующее. При, Р <С Я* прямолинейная форма стержня устойчива. При Р ~ Р* первоначальная форма равновесия перестает быть устойчивой, а новой устойчивой формы равновесия не возникает —система из равновесного состояния переходит в состояние колебательного движения с неограниченно возрастающими амплитудами (колебательная неустойчивость).

В данном случае точка А^ характерна еще тем, что при переходе через нее исходное положение равновесия стержня перестает быть устойчивым: точки оси ординат, лежащие ниже точки А г соответствуют устойчивым состояниям, а точки оси ординат, лежащие выше точки Alt — неустойчивым состояниям. В дальнейшем точки на диаграмме нагрузка — перемещение, при переходе через которые исходное состояние равновесия перестает быть устойчивым, будем называть критическими точками, а соответствующие им значения нагрузок — критическими значениями нагрузок или критическими нагрузками. Критические нагрузки будем обозначать индексом кр, например, в рассмотренном примере ркр=4--

что при переходе через первую точку бифуркации исходное состояние равновесия перестает быть устойчивым, приведем другой вывод уравнений (1.29), основанный на теореме Лагранжа.

Критической называют нагрузку Ркр, при превышении которой исходное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Поэтому при Р > Ркр имеются отклонения, приводящие к: АЭ < < 0. Но при Р > Ркр возможны отклонения, ^приводящие к АЭ > 0 или к A3 = 0. В соответствии с выражением (1.30) для тех отклонений, при которых A3 = 0, можно записать следующее:

Критическим является такое значение параметра нагрузки Ркр, при превышении которого начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Поэтому при Р > Ркр условие (2.39) для любых возможных отклонений не выполняется и, вообще говоря, имеются такие отклонения, при которых A3 = 0. Следовательно, Ркр можно разыскивать как нижнюю границу тех значений Р, при которых возможны отклонения системы от начального состояния, приводящие к условию A3 = 0.

При нагрузках, меньших критических, стержень, пластина или круговое кольцо не имеют других состояний равновесия кроме невозмущенного устойчивого начального состояния (рис. 6.23, а). При достижении критической нагрузки наряду с начальным невозмущенным состоянием равновесия становятся возможными новые возмущенные состояния равновесия. С дальнейшим увеличением нагрузки начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым, взамен его появляется новое возмущенное состояние равновесия, в которое переходят стержень, пластинка или круговое кольцо (кривая А:В на рис. 6.23, а). При плавном нарастании нагрузки упругий^стержень, пластина или круговое кольцо иде-

Основной задачей расчетов на устойчивость стержневых элементов конструкций, находящихся под действием центрально приложенных сжимающих нагрузок, является определение критической силы Рк„, при которой первоначальная прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой. Достижение нагрузками критических значений равносильно разрушению конструкции.

Основное допущение, на котором базируется классическое решение задач устойчивости, состоит в полном пренебрежении начальными геометрическими неправильностями формы реальных пластин и оболочек. Именно это допущение позволяет свести задачу к однородным линеаризованным уравнениям, найти точки бифуркации начального состояния равновесия и определить критическое значение нагрузки, т.е. то значение, при превышении которого начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым.

расположены на одной вертикали и сила F приложена вдоль этой вертикали. Деформацию системы будем задавать углами фг и'фа, причем в начальном состоянии равновесия при достаточно малых значениях силы F, очевидно, Фг = 0 и фа = 0. Найдем критическое значение силы FKp, при превышении которого вертикальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Для того чтобы воспользоваться критерием устойчивости (1.69), подсчитаем изменение полной потенциальной энергии системы с точностью до квадратов углов Фх и ф2. Энергия деформации упругих шарниров равна