Равновесия потенциальная

приведен на рис. 2.6, позволяет найти разбиение фазовой прямой со на траектории и определить на ней устойчивость состояний равновесия. Поскольку корни уравнения (2.8) расположены симметрично относительно начала координат,

В области средних температур 0,15 — 0,5ГПЛ (см. рис. 2.8) пластическая деформация ОЦК-металлов контролируется в основном взаимодействием дислокаций с примесными атомами внедрения [85— 87]. В металлах и сплавах технической чистоты, т. е, с повышенным содержанием элементов внедрения, указанную область можно разбить на два температурных интервала: выше и ниже температуры конденсации атмосфер Коттрелла [85, 86], которая обычно составляет порядка 0,25— 0,36ГПЛ. Ниже этой температуры наблюдается в основном взаимодействие дислокаций с атмосферами Сноека [85], а выше этой температуры происходит разблокирование из атмосфер Коттрелла [86, 88], причем такой процесс носит характер динамического равновесия. Поскольку в этом температурном интервале скорость миграции примеси становится соизмеримой со средней скоростью дислокации, движущейся от барьера к барьеру, то «периодически происходит захват дислокаций атмосферами [4] и столь же периодический отрыв от них при дальнейшем повышении напряжения течения. Этот периодический процесс, называемый динамическим деформационным старением, вызывает заметные спады напряжения, которые придают диаграмме нагружения характерный зубчатый вид (эффект Портевена — ЛеШателье) [5]. Эффект Портеве-на — Ле Шателье чувствителен к скорости и степени деформации и часто приводит к аномальному повышению напряжения течения в отдельных температурных интервалах, что вызывает появление дополнительных максимумов на кривой температурной зависимости прочностных свойств.

(В самом деле, пусть Fv Fz, ..., Fn — силы и Ал, А?1, ..., Ап — -точки их приложения. Главный вектор R сил F2, F$, ..., Fn равен и противоположно направлен силе F\. Согласно предыдущему существует четыре положения тела, при которых силы F$, F$, • ••, Fn имеют одну равнодействующую К, проходящую через точку AI тела. Эти четыре положения будут, очевидно, положениями равновесия, поскольку для них R и Ft равны и прямо противоположны.)

Поверхность твердого тела, по сравнению с его внутренним строением, имеет ряд особенностей. Любой атом, расположенный внутри твердого тела с идеальной кристаллической решеткой, находится в состоянии подвижного устойчивого равновесия, поскольку для него по всем направлениям интенсивность силового поля одинакова. В ином положении оказываются атомы, которые находятся у поверхности; они имеют только односторонние связи, — в тело металла, поэтому их состояние неуравновешенное, неустойчивое; они более активны, обладают избыточной энергией (свободной) по сравнению с атомами, находящимися в объеме.

Наряду с теоремой, указанной в названии параграфа, имеется еще и теорема о существовании решения задачи теории упругости. Доказательство этой последней теоремы является далеко не простым в математическом отношении. Вместе с тем, если исходить из физических соображений, то факт существования решения задачи теории упругости является достаточно очевидным. Все уравнения теории упругости, приведенные выше, получены из принципов механики, не вызывающих сомнения, вследствие чего они, эти уравнения, не могут быть в' противоречии с природой — сплошное тело (сохраняющее свою сплошность) определенным образом нагруженное и надлежащим способом закрепленное, должно иметь хотя бы одно положение равновесия. Поскольку теорема о существовании решения задачи теории упругости (в том числе и нелинейной), представляя большую математическую сложность, с точки зрения механики не вызывает сомнения в смысле ее справедливости, на доказательстве этой теоремы мы не останавливаемся и будем исходить из предположения о существовании решения отмеченной выше задачи. Что касается теоремы о единственности решения линейной задачи теории упругости, то ее ниже докажем.

Выражения а через % можно рассматривать как решение однородных дифференциальных уравнений равновесия, поскольку при подстановке этих выражений в однородные дифференциальные уравнения равновесия последние обращаются в тождества. Аналогично и формулы (уравнения) Коши, в которых компоненты деформаций выражаются через составляющие перемещения, могут рассматриваться как решение дифференциальных уравнений совместности деформаций Сен-Венана (поскольку подстановка выражений для компонентов деформаций согласно формулам Коши в последние уравнения обращает их в тождества).

Особенностью этой системы, отличающей ее от уравнений без-моментной теории жестких оболочек, является то,, что уравнения равновесия (поскольку в них входят параметры изменения кривизны) не могут быть решены независимо от определения перемещений. Система является связанной. При этом общий порядок ее равен шести (в отличие от четвертого порядка уравнений без-моментной теории жестких оболочек). Соответственно и на границах предварительно нагруженной безмоментной оболочки должны быть поставлены не два, а три граничных условия. Эти уело-, вия можно накладывать на перемещения и, и, w или на соответствующие им силы. Перемещениям и, v соответствуют в окружном сечении силы 7\, S, а перемещению w — проекция начальной силы Т\ за счет ее поворота на угол $г — -?----~.

шением в ней карбонатного равновесия, поскольку при добав-

Агрессивное действие воды при очистке объясняется нару-ением в ней карбонатного равновесия, поскольку при добав-:нии в воду 1 мг сульфата алюминия или хлорида железа (III) оделяется около 0,8 мг оксида углерода (IV) за счет разло-ения гидрокарбонатов. Вода при этом становится нестабиль-)й, т. е. способной растворять защитные пленки на внутрен-:й поверхности трубопроводов в результате появления в ней 'рессивной угольной кислоты. При оголении поверхности тру-щроводов усиливается электрохимическая коррозия, которой шгоприятствует присутствие растворенного в воде кислорода сероводорода. Вода обогащается продуктами коррозии, ухуд-ающими ее качественные показатели.

В основе приближенного кинематического метода лежит предположение о возможном (удовлетворяющем условиям совместности деформаций) распределении приращений пластической деформации за цикл. Обычно удобно такое распределение (механизм разрушения) находить, задавая некоторое распределение приращений остаточных перемещений в точках конструкции, и тогда приращения деформаций могут быть вычислены с помощью известных соотношений (типа соотношения Коши). При этом иногда могут быть использованы результаты решения аналогичных задач предельного равновесия, поскольку механизмы «мгновенного» и прогрессирующего разрушений в общем однотипны, отличие состоит в их реализации («мгновенно» в условиях предельного равновесия и поэтапно в течение цикла при прогрессирующем формоизменении).

Создание специфических "однородных" макроструктур в металлических сплавах возможно лишь в условиях самоорганизации структуро-образования, что достигается при использовании технологий, обеспечивающих протекание физико-химических процессов вдали от термодинамического равновесия. Поскольку самоорганизация структур в открытых системах происходит тогда, когда внешние силы или потоки энергии (вещества) превышают пороговые значения, то технологии, основанные на явлениях самоорганизации структурообразования расплавов, можно отнести к экстремальным [333].

Отсюда следует, что в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет экстремальное значение.

Отметим, что минимум потенциальной энергии обеспечивает выполнение условий равновесия (2.10), так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение.

Если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то исследование устойчивости

т. е. в положении равновесия потенциальная энергия должна иметь либо минимум, либо максимум.

В состоянии термодинамического равновесия потенциальная энергия твердого тела должна быть минимальна. Зависимость ионной энергии металла от атомного объема V

В системах, изображенных на рис. 1.5, полная потенциальная энергия изменяется пропорционально вертикальному смещению шарика. Когда шарик опускается, его потенциальная энергия, естественно, уменьшается. Если шарик поднимается, то потенциальная энергия возрастает. Поэтому нижняя точка вогнутой поверхности соответствует минимуму полной потенциальной энергии и положение равновесия шарика в этой точке устойчиво. Вершина выпуклой поверхности соответствует стационарному, но не минимальному значению полной потенциальной энергии (в данном случае — максимальному значению). Поэтому положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Стационарная точка на седлообразной поверхности тоже не соответствует минимуму полной потенциальной энергии (это так называемая точка мини-макса) и положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Последний случай весьма характерен. В неустойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия вовсе не должна достигать максимального значения. Положение равновесия не будет устойчи-

Известно, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия системы имеет минимальное значение.

При прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю, скорость равна v = mna, запас кинетической энергии составляет

Теорема Лагранжа — Дирих-л е. Если в данном положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, равновесие устойчивое.

Теорема Лагранжа — Дирихле. Если в данном положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, равновесие устойчиво.

Напомним, что геодезическая линия является наименьшим расстоянием между двумя точками, лежащими на поверхности. Натянутая нить, соединяющая эти две точки, совпадает с геодезической линией и находится в состоянии устойчивого равновесия; потенциальная энергия этой нити минимальна. Согласно принципу Герца при отсутствии внешних сил траектория движущейся по поверхности точки совпадает с геодезической линией.