Равновесия упругости

тельности. На рис. 8.1 изображены два мыслимых положения 00 маятника, в которых уравнения равновесия удовлетворяются. Если трение в шарнире отсутствует, то первое из приведенных положений (рис. 8.1, а) неосуществимо. Действительно, любое бесконечно малое отклонение от этого положения сопровождается появлением момента, который стремится увеличить это отклонение еще больше. Такое состояние равновесия называют неустойчивым. Во втором положении маятника (рис. 8.1, б) отклонение приводит к появлению восстанавливающего момента, под действием которого маятник должен вернуться обратно. Такое положение называется устойчивым.

В качестве первого примера рассмотрим состояние анизотропного тела, характеризующегося общей анизотропией, под действием постоянного напряжения aj = о. Легко установить, что уравнения равновесия удовлетворяются, а деформации

где Ми/ — bha/12 — соответственно изгибающий момент и момент инерции сечения. Как и ранее, уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, а деформации

Таким образом, сосредоточим внимание на исследовании деформации, которую мы назвали «состоянием чистого растяжения». Растяжение в осевом направлении с необходимостью влечет за собой, разумеется, изменение размеров и формы поперечного сечения. Если в начальном состоянии волокна прямолинейны и параллельны, то переход от начального состояния к состоянию чистого растяжения определяется формулами (91). В этом случае деформация поперечного сечения тела представляет собой чистое сжатие в направлениях, перпендикулярных оси. Поскольку сдвиг отсутствует, касательное напряжение S равно нулю и уравнения равновесия удовлетворяются при Т = = Р = 0. (Уравнения равновесия имеют в точности ту же форму, что и для случая обычной плоской деформации.) Единственная ненулевая компонента тензора напряжений 53(ОД) представляет собой нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных оси растяжения.

В состоянии чистого натяжения касательное напряжение S равно нулю, и, следовательно, величина сдвига k также равна нулю. Таким образом, при одноосном растяжении, сопровождающимся состоянием чистого натяжения, сдвиг должен отсутствовать. Обратно, из условия k = 0 следует, что 5 = 0, и, следовательно, уравнения равновесия удовлетворяются при Т = = Р = 0. Поскольку параметры k и К постоянны, S3 также постоянно и, следовательно, такое состояние напряжений является одноосным.

Итальянский ученый Б. Финци показал1), что если компоненты напряжений представить в нижеприводимой форме, выразив их через шесть функций Хш Х22. Хзз. Хгз. Xsi. Хи. то однородные дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются.

Уравнения равновесия удовлетворяются, если

Неучет составляющих, содержащих перерезывающие силы в первых двух уравнениях, является следствием принятых допущений об упрощении соотношений для кривизн и кручения. Однородные части первых двух уравнений равновесия удовлетворяются для оболочек даже при одной постоянной - кривизне, если ввести функцию Ф [5]:

Тогда уравнения равновесия удовлетворяются, а из условия совместности деформаций

Вдобавок к уже рассмотренным двум типам деформации •окрестности вершины трещины существует трещина так называемого «параллельного скольжения», или трещина продольного сдвига — тип III деформации — изображенная на рис. 3. Данный тип деформации существует, например, в антиплоском сдвиге, который возникает локально при скручивающей нагрузке. Для такого типа деформации трещины удобной является замена функции напряжений Эри функцией поперечных перемещений при антиплоском сдвиге w(x,y); уравнения равновесия удовлетворяются, если эта функция гармоническая. Обозначим функцию перемещений через Zni; тогда

Остальные условия равновесия удовлетворяются тождественно в силу симметрии задачи,

Тогда уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, если ввести симметричный тензор функций напряжений ф по правилу

Уравнения теории слоя в нулевом приближении соответствуют уравнениям равновесия упругости (уравнениям Ламе) с: погрешностью е; точно удовлетворяются все граничные условия кинематического типа на лицевых поверхностях слоя и два статических условия на боковой поверхности — для нормального и касательного напряжений. При этом напряжение поперечного сдвига в ноль не обращается, как должно быть, если задано только нормальное давление. Но эти напряжения имеют порядок малости ? по сравнению с основными. Интегральное условие для напряжений поперечного сдвига выполняется.

Применим метод однородных решений П. Ф. Папковича к уравнениям равновесия упругости, записанным в перемещениях:

Здесь будем использовать другой метод получения уравнений, состоящий в осреднении уравнений равновесия упругости по толщине слоя с весом 1 и г. Метод осреднения применялся в работах А. Л. Гольденвейзера для вывода уравнений равновесия теории оболочек [38].

Заметим, что метод осреднения уравнений теории упругости и шестое уравнение рассматривались в работах В. В. Новожилова и Р. М. Финкельштейна (см. [141]), выполненных в начале 40-х годов и посвященных анализу погрешности классической теории оболочек Кирхгофа — Лява. Эти фундаментальные работы содержат ряд плодотворных идей в области построения уточненных теорий оболочек, в частности способ определения напряжений <7,з из уравнений равновесия упругости (1.1.12) и Представление перемещений и напряжений в виде квадратичных полиномов по координате г. Аналогичные методы получили развитие и реализацию в работах многих авторов, занимавшихся построением уточненных теорий оболочек, например в работах С. А. Амбарцумяна.

Используя уравнения равновесия упругости (1.1.7) и зависимости (3.1), построим вектор перемещений точки тела асимптотическим методом аналогично тому, как это было сделано в §1.

2. Для вывода уравнений уточненной теории оболочек используем уравнения равновесия упругости, записанные в перемещениях:

Функции w, ..., w определяются из шести уравнений (1.10), полученных путем осреднения уравнений равновесия упругости по толщине оболочки. Лля усилий и моментов Т,-, 5,-, Ni, M,-, Hi, <3,-справедлив закон упругости (1.1б)-(1.19).

Уравнения равновесия упругости

Уравнения равновесия упругости

При определении напряжений и деформаций во вращающемся, неравномерно нагретом диске используют уравнения равновесия, упругости и совместности.