Равновесия уравнение

Линейные дифференциальные уравнения (14) (или (15)) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (14) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (10) могут быть заменены этими

полностью определяет характер разбиения фазового цилиндра 9 , 8 на траектории. Используя соотношение (2.17), нетрудно получить фазовую траекторию для любого заданного значения h. Для этого нужно построить график функции (2.18) и затем, задавая значения 6, последовательно извлекать квадратные корни из выражения 2[/(б) + Л1, откладывая получаемые величины на фазовом цилиндре от оси б в положительном и отрицательном направлениях оси 6. Примеры такого построения приведены на рис. 2.11. Экстремальные значения на графике функции /(6) соответствуют состояниям равновесия уравнения (2.15), т. е. особым точкам на фазовом цилиндре 6,8. Из выражения (2.18) функции / (6) следует, что в зависимости от значений физических параметров а, р1 могут существовать или две, или четыре особые точки. Бифуркационное соотношение параметров а, р, разделяющее эти случаи, находится из условия слияния двух особых точек, что осуществляется при одновременном выполнении двух соотношений: /' (9) = = 0 и /" (б) = 0 или, согласно (2.18),

Очевидно, что состояние равновесия а = О, Ь = 0 на плоскости ab согласно (5.5) соответствует состоянию равновесия q — О, q* = О для исходной динамической системы. Состояния равновесия системы (5.14), для которых а Ф О, Ъ Ф О, соответствуют периодическим движениям для исходной системы. Следовательно, изучив состояния равновесия уравнения (5.14), а также расположение фазовых траекторий на плоскости ab, можно судить о возможных движениях исходной динамической системы. Этот прием был впервые предложен А. А. Андроновым [3]. Переход к полярным координатам в системе уравнений (5.13) позволит ответить на вопрос о поведении интегральных кривых на плоскости qq* . Пусть

Координаты положений равновесия уравнения

Рассмотрим поведение изображающей точки около какого-либо состояния равновесия уравнения (5.18). Пусть р = р0 является корнем уравнения (5.19). Введем новую переменную и, характеризующую поведение изображающей точки вблизи состояния равновесия р — р0:

определения координат состояния равновесия уравнения:

определения координат состояния равновесия уравнения E(ti)-Pi; = 0, (5.71)

линия. К чертам сходства относят критическое замедление, критические флуктуации, нарушение симметрии и др. Неравновесные фазовые переходы включают возникновение предельных циклов, движение на торах и хаос. [7]. Было показано, что и для систем далеких от равновесия уравнения для параметра порядка имеют вид уравнения Гинзбурга-Ландау.

Традиционный метод вывода уравнений равновесия. Уравнения равновесия для прямолинейного в естественном состоянии стержня в простейших задачах, когда осевая линия стержня — плоская кривая, а нагрузки — «мертвые», можно получить традиционным методом, который излагается в курсах сопротивления материалов и строительной механики. Если стержень естественно закручен (см. рис. В.21) и нагружен внешними силами и моментами со сложным поведением (например, следящими за нормалью к осевой линии, или следящими за некоторой точкой пространства, или зависящими от перемещений точек осевой линии стержня, и т. д.), то традиционным методом получить уравнения равновесия довольно сложно. Для подобных задач их существенно проще получить из общих уравнений равновесия (1.31) — (1.35) или (1.57) — (1.61) как частный случай для прямолинейных (в естественном состоянии) стержней.

Ограничимся пока случаем, когда перемещения точек осевой линии стержня малы. Мысленно выделим элемент стержня и рассмотрим его равновесие (рис. 4.1,6) с учетом всех сил, действующих на этот элемент. Так как проекции сил остаются неизменными в декартовых осях, то целесообразно и уравнения равновесия получить в этих осях. Считаем, что сечения стержня остаются при деформации стержня плоскими и ортогональными осевой линии стержня, т. е. деформации сдвига не учитываются.

Уравнения равновесия. Уравнения равновесия для стержня переменного сечения, лежащего на упругом основании, при малых перемещениях точек осевой линии являются частным случаем урав-

кого-нибудь из параметров с координатой состояния равновесия. Уравнение бифуркационной кривой получается после исключения из уравнений (3.8) величины х^:

Уравнение (3.9) представляет зависимость уа = / (у*), а величины х0, К и 3 считаются фиксированными. Возможные варианты вида бифуркационных диаграмм при различных значениях х0 и закрепленных значениях А, и 3 показаны на рис. 3.7. Число состояний равновесия в системе

Для данной системы мы можем составить только два уравнения равновесия: уравнение проекций сил на вертикальную ось и уравнение моментов относительно какой-либо точки; следовательно, система статически неопределима.

Поскольку реакция RA нас не интересует, то составим только одно уравнение равновесия, а именно уравнение моментов относительно точки А:

Уравнение движения. В состоянии покоя вращающий момент Мвр, действующий на подвижную систему, уравновешивается моментом Мпр, создаваемым противодействующей пружиной, моментам трения Мтр, возникающим в кинематических парах. При изменении измеряемой величины это равновесие нарушается, и на систему начинает действовать момент восстановления Мв, представляющий собой разность между вращающим моментом, моментом пружины и моментом трения. Под действием этого момента подвижная система стремится перейти в новое положение равновесия.

где с — оптический коэффициент напряжений, a dn/ds — градиент оптической разности хода в направлении просвечивания. Для определения всех компонент тензора напряжений по данным фотоупругого исследования используется какой-либо вспомогательный метод, например метод конечных разностей. Этот метод основан на численном интегрировании уравнений равновесия. Уравнение равновесия

Положение маятника определяется углом а, измеряемым от вертикали, с которой совпадает его положение статического равновесия. Уравнение качательного движения мы получим, используя второй закон Ньютона, согласно которому

найдем дифференциальное уравнение кривой равновесия (уравнение Клапейрона — Клаузиуса)

Если эти силы известны, можно составить уравнение динамического равновесия (уравнение движения) пневматического чувствительного элемента по принципу Д'Аламбера:

Уравнение динамического равновесия (уравнение движения) гидравлического чувствительного элемента, написанное по принципу Д'Аламбера, имеет вид

При рассмотрении равновесия с учетом распределения необ-менно сорбированного электролита и растворителя уравнение (4) необходимо использовать в сочетании с уравнениями Нерн-ста: