Свободных крутильных

При свободных колебаниях оба атома находятся в движении, а их центр масс неподвижен. Естественно представить уравнение ~'!3-ВэВ

Если при т=0 v0=0, то левая часть уравнений (5.34) равна нулю. Определив C(v) и B
Так как при т=0 u^O, то Ол=0 и из (5.19) —(5.22) получаем векторы AQ, AM, Ф и и, характеризующие напряженно-деформи-дованное состояние стержня при свободных колебаниях, вызванных действием импульсной нагрузки. Аналогично определяются произвольные постоянные (B(i)), если при т=0 на массы подействовали импульсные моменты. В этом случае при т=0 имеем [из соотношения (5.21)]

торцу кругового стержня постоянного сечения (рис. 5.11), перестает действовать. Требуется определить горизонтальное перемещение (по направлению оси Xi) торцового сечения (точки К) во времени при свободных колебаниях. Стержень имеет круглое сечение, поэтому колебания стержня происходят в плоскости чертежа. Инерцией вращения и силами сопротивления пренебречь.

Определив Ci('\ по выражению (7.141) находим прогибы стержня при свободных колебаниях.

Для стержня (рис. 7.15) произвольные постоянные Ci<'"> определяются выражением (7.144) (с2(/)=0), и поэтому перемещения точек осевой линии стержня при свободных колебаниях с учетом сил вязкого сопротивления равны

• 7.2. На сосредоточенную массу (рис. 7.32) подействовал импульс силы J. 1ребуется определить угол поворота массы т в плоскости чертежа при свободных колебаниях, возникающих после окончания действия импульса.

Вторая основная задача связана с исследованием динамической устойчивости стержней в потоке и определением критических скоростей потока. Комплексные собственные значения позволяют выяснить возможное поведение стержня при возникающих свободных колебаниях во всем диапазоне скоростей потока (от нуля до критического значения) и тем самым ответить на вопрос, какая потеря устойчивости (с ростом скорости потока) наступит, статическая (дивергенция) или динамическая (флаттер). Задачи динамической неустойчивости типа флаттера подразумевают потенциальное (без срывов) обтекание стержня (рис. 8.1,а), что имеет место только в определенном диапазоне чисел Рейнольдса. Возможны и режимы обтекания с отрывом потока и образованием за стержнем вихревой дорожки Кармана (рис. 8.1,6). Вихри срываются попеременно с поверхности стержня, резко изменяя распределение давления, действующего на стержень, что приводит к появлению периодической силы (силы Кармана), перпендикулярной направлению вектора скорости потока.

При свободных колебаниях, которые имеют место после окончания действия •импульса силы J, получаем решение (5.8) (более подробно о решении уравнения свободных колебаний говорится в ответе к задаче 7.1). Из (5.8) получаем

где я ;# ~ коэффициент, зависящий от формы деформаций системы при ее свободных колебаниях по /-и форме; г/(а/у/) - максимальное перемещение в точке j (ордината формы собственных колебаний). Интегралы в выражении (12.37) берутся по площади.

Колебания называются периодическими, если состояние механической системы, определяемое значениями обобщенных координат и их производных, повторяется через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, через который повторяется состояние механической системы, называется периодом колебаний. Число периодов в единицу времени называется частотой; единица частоты — герц (1 Гц=1/с). При свободных колебаниях частота зависит только от собственных свойств системы (но не от сил) и потому называется собственной частотой.

Стержни с распределенной массой. Уравнение свободных крутильных или продольных колебаний стержня постоянного сечения с равномерно распределенной массой имеет вид

58. Писаренко Г. С., Мухин Н. М. Исследование влияния абсолютных размеров образцов на логарифмический декремент затухания свободных крутильных колебаний. — В кн.: Вопросы рассеяния энергии при колебаниях упругих систем. Труды научно-технич. со-вещ. под ред. Г. С. Писаренко. Киев, Гос. нзд-во технической литературы УССР, 1962, с. 111 — 122.

29. П и с а р е н к о Г. С. я М у х и н Н. М., Исследование влияния абсолютных размеров образцов на логарифмический декремент затухания свободных крутильных колебаний, «Вопросы рассеяния энергии при колебаниях упругих систем», Труды научно-технического совещания, под ред. Г. С. Писаренко, Гос. изд-во техн. литературы, УССР, Киев, 1962.

П р и м е р. Для установки, схема которой представлена на рис. 102, необходимо определить частоты первых форм свободных крутильных колебаний валопровода и величину касательных напряжений в наиболее напряженных участках валопровода при резонансе. Основные параметры системы приведены в табл. 29 и на безразмерной схеме (рис. 105). За постоянные безразмерной системы приняты момент инерции винта (с прилегающим к нему участком валопровода) 6г = 00 = 892 • 103 кГсм/сек2 и податливость гребного и промежуточного вала е1>2а = е0 = 23,6 х X 10~10 кГ~1см~1. Для наиболее слабых сечений рассматриваемых участков моменты сопротивлений вычислены в табл. 29.

где М — дополнительный к номинальному момент, скручивающий вал лри коротком замыкании; X — частота свободных крутильных колебаний; е — податливость на кручения вала; J\ — момент инерции массы ротора генератора.

где 0о(2), 0i(2), 02(2) —амплитуды угла закручивания при вынужденных колебаниях; m0(z), /ni(z), m^(z) — амплитуды скручивающего момента при вынужденных колебаниях; 0ь(г)—k-я форма угла закручивания при свободных колебаниях; т^(г)—k-я форма скручивающего-момента при свободных колебаниях; Ль—k-я частота свободных крутильных колебаний.

Вычисление форм свободных крутильных колебаний удобно производить по табл. 49. Для вычисления первой формы колебаний используются столбцы 1 — 11, для второй формы — все столбцы таблицы. Аналогичные таблицы можно составить для вычисления более высоких форм колебаний, очищая при этом каждый раз полученные формы с

49. Вычисление форм свободных крутильных колебаний вала

Частоты свободных крутильных колебаний Kk валопровода не должны совпадать с частотами возмущающих сил со и 2со.

Формулы (72), (73) после замены в них 5^к на 5„ можно использовать для определения частоты свободных крутильных колебаний: в характеристических уравне-

угла поворота и крутящего момента; АИ — частоты при свободных крутильных колебаниях валопровода. Тогда уравнение, описывающее свободные крутильные колебания, имеет вид