Свободных поверхностях

Пример 17.39. Определить частоты и формы свободных поперечных колебаний призматической однопролетной балки, шарнирно опертой по концам, при условии, что к концу балки с шарнирно подвижной опорой приложена внешняя растягивающая балку сила Р (рис. 17.92).

циальное уравнение свободных поперечных колебаний призматической весомой балки, подверженной воздействию продольной силы, имеет вид

Пример 17.40. Определить частоты и формы свободных поперечных колебаний весомой призматической балки, шарнирно опертой по концам, с учетом влияния сдвигов на прогибы, а также с учетом инерции поворотов сечений.

Довольно часто вращающийся ротор или вал машины, являющийся прочным с точки зрения статических нагрузок, может при некотором числе оборотов терять устойчивость; его прогибы начинают сильно расти, возникают сильные колебания, из-за которых машина может выйти из строя. Такие режимы работы вала или ротора называют критическими. Они наблюдаются при оборотах, соответствующих частоте свободных поперечных колебаний ротора [17].

Таким образом, когда опоры вращающегося вала обладают линейными упругими характеристиками, задача определения критической скорости вращения этого вала совпадает с задачей определения частот его свободных поперечных колебаний. Поэтому для определения критической скорости можно воспользоваться общим частотным уравнением, приведенным в гл. I. В нем только вместо Спр и Кпр следует поставить обычные линейные жесткости. Эти замечания относятся к различным частным случаям упругих креплений валов

Общеизвестно, что задача о свободных поперечных колебаниях балки и задача о нахождении критических скоростей вала являются эквивалентными. Так будет не только при различных конструкциях жестких опор, но и в случае самого разнообразного вида упругих опор, имеющих линейные упругие характеристики.

Эта физическая картина колебаний позволяет развить метод последовательных приближений для определения частот свободных поперечных колебаний или критических оборотов с любой степенью точности.

Очевидно, что изложенный метод может найти применение и при определении частот свободных поперечных колебаний балок, несущих различные нагрузки и опирающихся на различного типа опоры в том числе и нелинейное. Последние лишь необходимо линеализировать, как показано в гл. I.

свободных поперечных деформаций резиновых элементов при действии на них нагрузки. При быстрых сменах действующих усилий резина становится более жесткой, чем при медленно протекающих деформациях. Это различие бывает довольно значительным и составляет от 25 до 100%. Теоретический расчет жесткости резиновых элементов обычно бывает ориентировочный [111]. Надежные данные можно получить только экспериментально [51], [62]. При долговременной нагрузке наблюдается ползучесть, что следует учесть при применении резины для амортизаторов фундамента.

Пример. При малых свободных поперечных колебаниях стержня потенциальная энергия Ь

Уравнение свободных поперечных колебаний стержня постоянного сечения с равномерно распределенной массой имеет вид

где у - удельное поверхностное натяжение, вводимое для твердого тела по аналогии с таким же понятием для жидкости. Значение у Гриффите определял известными физическими методами для расплава исследуемого материала при разных температурах. Экстраполируя затем полученные значения у на температуру плавления данного материала, определяем у твердого тела. Потенциальная энергия деформации пластинки без трещины больше потенциальной энергии пластинки с трещиной, поскольку вокруг трещины существует зона уменьшенных напряжений (так как на свободных поверхностях трещины напряжения равны нулю).

температуре. Распад при высоких температурах происходит путем растворения цементита в аустените и гетерогенного образования зародышей графита на свободных поверхностях аустенита (усадочных п газовых мнкроиустотах, всевозможных несплошпостях, скоплениях вакансии и т. д.) Рост графитных образований происходит путем диффузии атомов углерода в аустените от границы аустепит—цементит (при одновременном растворении цементита в аустените) к границе аустепит —графит ' Этот процесс сопровождает диффузия атомов

Потенциальная энергия деформации пластинки без трещины естественно больше потенциальной энергии пластинки с трещиной, поскольку вокруг трещины существует зона уменьшенных напряжений (так как на свободных поверхностях трещины напряжения равны нулю). Пусть точки приложения внешних сил по смещаются с ростом трещины и, следовательно, работа внешних сил при этом равна нулю.

лию Оср, при этом постоянную интегрирования С'* в уравнениях (3.82) определяли, удовлетворив на свободных поверхностях мягкой прослойки (х = 0 и 0 < с, < ^к) граничные условия Сен-Венана JCT*^ = 0.

На рис. П-4 показано в виде примера определение силы давления с помощью такой эпюры в случае двустороннего воздействия жидкостей одинаковой плотности р на стенку при различных высотах уровней Нг и Я2 по обе стороны стенки и одинаковом давлении на свободных поверхностях / и //.

Для определения давления рх воспользуемся уравнением Бернулли, записанным для сечений потока на свободных поверхностях в баках:

Для установки на рис. XIV-2, где давление на свободных поверхностях жидкости в резервуарах равно атмосферному, статический напор установки представляет собой разность уровней жидкости в резервуарах:

стенки и одинаковом давлении на свободных поверхностях / и //.

Для определения давления рх воспользуемся уравнением Бернулли, записанным для сечений потока на свободных поверхностях в баках:

Для установки, изображенной на рис. XIV — 2, где давление на свободных поверхностях жидкости в резервуарах равно атмосферному, статический напор представляет собой разность уровней жидкости в резервуарах:.

лию аср, при этом постоянную интегрирования С* в уравнениях (3.82) определяли, удовлетворив на свободных поверхностях мягкой прослойки (х = 0 и 0 < ?, < <;к) граничные условия Сен-Венана Jcxd^ = 0.