Скалярных уравнений

Из этих равенств видно, что каждая из искомых величин ц^ ' (k = 1, 2, 3) линейно выражается через известные нам проекции w(°), ш<«) и ш<а). Коэффициентами при этих величинах являются скалярные произведения ортов координатных систем Оа и Оь. Это будут косинусы углов между соответствующими

Выражая скалярные произведения через проекции сомножителей на оси координат, получаем

удобно представить в ином виде, выразив скалярные произведения через проекции векторов-сомножителей (формула (18)). Учитывая существование силовой функции Ф, в силу (23) получаем

В формулировке этой теоремы весьма существенно, что в ней речь идет о всех силах, а не только о внешних силах, как это имело место в предыдущих теоремах этой главы. В предыдущих теоремах суммировались сами силы или их моменты и в силу третьего закона Ньютона сумма всех внутренних сил (или их моментов) оказывалась равной нулю и могла быть отброшена. Теперь же в теореме об изменении кинетической энергии суммируются скалярные произведения Ffdfi, и даже если силы Ft и Ft+i равны, действуют вдоль одной прямой и направлены противоположно, сумма /v drt + FH-! • dri+i может быть (и часто бывает) отлична от нуля, так как в общем случае

*) Определителем Грама, составленным из п векторов, называется определитель, элементами которого являются попарные скалярные произведения этих векторов; подробнее см., например, Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— 3-е изд., исправл.—М.: Наука, 1967, с. 226.

Следует иметь в виду, что скалярные произведения ортов i • i = = / • / = k • k = 1; t • / = i • k = / • k — 0, а векторные произведения ортов t X I = J X / = "k X k = 0; 7 X / = 'k', 7 X fe = 7;

Образуя скалярные произведения, можно убедиться, что этот вектор перпендикулярен как к А, так и к С.

Заметим, что слагаемые с V2 сокращаются в правой и левой частях. Соотношение (31) превращается в уравнение (28) — закон сохранения энергии в нештрихованной системе отсчета — только при условии, что в (31) сокращаются скалярные произведения, т. е. что

При однородных краевых условиях эти скалярные произведения всегда при е=0 и е— 1 равны нулю, поэтому из (4.111) получаем условие ортогональности собственных векторов:

Матрица Е0 вводится для того, чтобы все скалярные произведения Z-E0Z0(I), Z-E0Z0(2) и т. д. имели размерность работы (в соответствии с принципом возможных перемещений). Так как

Из этих равенств видно, что каждая из искомых величин т^ (k— 1, 2, 3) шнеймо выражается через известные нам проекции tt>(°), а><<>) и И)<"). Коэффи-гиеитями при этих величинах являются скалярные произведения ортов коорди-1атных систем Оа и Оь. Это будут косинусы углов между соответствующими

позволяющие вычислить проекции вектора и по заданному значению угла ф(. Система трех скалярных уравнений для нахождения проекций единичного вектора w такова:

где /L = AB — длина звена /, a yN — ордината точки N (на рис. 8.28 i/N< 0). Уравнение (8.106) мы используем для определения алгебраической величины sc и проекций вектора ег, т. е. четырех скалярных величин. Это возможно, ибо эти уравнения эквивалентны системе четырех скалярных уравнений. Действительно, если первое уравнение переписать в проекциях на оси х, у, г и развернуть второе, то мы получим

или трех скалярных уравнений, получающихся проектированием уравнения (31) на оси х, у, г инерциальной системы отсчета:

Спроецировав на оси координат обе части векторного равенства (1.202), в общем случае получим систему трех скалярных уравнений:

Для облегчения получения неизвестных из скалярных уравнений проекций в ряде случаев можно рекомендовать прием, который заключается в следующем.

в общем случае не являются замкнутой системой; поскольку это только шесть скалярных уравнений, а число степеней свободы системы материальных точек обычно значительно больше. Однако для твердого тела эти уравнения являются замкнутой системой, т. е. с их помощью без каких-либо других дополнительных условий и уравнений можно полностью определить движение твердого тела в заданных внешних силовых полях. Необходимо лишь знать начальные условия движения.

Из уравнения (2.47) получаем шесть скалярных уравнений с неизвестными с/ (/=1, 2,... ,6), •&/<>> (е,-) (/=1, 2, 3; i=l, 2,..., /г), •07(1)(ev) (/=1, 2, 3; v=l, 2, .. .,р), т. е. число неизвестных Л^=6--+3р+3п.

ций, и одно уравнение моментов тех же сил относительно какой-нибудь точки звена. Если в состав рассматриваемого многоугольника входит двухповодковая группа, то общее число скалярных уравнений, для нее составляемых, равно шести. В трех поводковой группе четыре звена, так что в этом случае мы располагаем 12 уравнениями.

приложенных к его звеньям, или по уравнениям замкнутости векторов линейных и угловых скоростей движения его звеньев. В первом и во втором случаях для каждого замкнутого контура звеньев механизма можно составить два векторных или шесть скалярных уравнений в проекциях рассматриваемых векторов на оси прямоугольной системы координат. Матрица коэффициентов такой системы уравнений имеет шесть строк и количество столбцов, соответствующее количеству звеньев в контуре. Это означает, что ранг г такой матрицы не может быть больше 6, когда все ее строки линейно независимы между собой, и может принимать меньшие значения. В соответствии с излагаемым методом количество свобод движения одноконтурного механизма лишь с вращательными кинематическими парами определяется по формуле

Каждую материальную точку в пространстве определяют четырьмя параметрами т,-, х/, у,-, г,-, а поэтому при статическом размещении масс в п точках (4п — 4) параметров следует выбрать произвольно, после чего четыре параметра вычисляют по системе четырех скалярных уравнений (5.8) и (5.11). При динамическом размещении массы М в п точках (4и - 10) параметров точек можно выбрать произвольно, после чего десять параметров могут быть найдены при совместном решении системы уравнений (5.8), (5.11) и (5.12). Эти последние уравнения дают возможность размещения п точек не только в пространстве, но и на плоскости, например на плоскости ху, для чего следует принять всюду zt = 0. При этом первые три уравнения (5.12) оказываются зависимыми и следует

Под действием сил инерции Ри) развивающихся при движении звеньев машины, сил тяжести этих звеньев G, а также полезных усилий Рп.с. возникают реактивные усилия #ф и моменты Л1Ф фундамента. Уравнения равновесия машины на фундаменте можно получить в виде системы скалярных уравнений или же заменить уравнения проекций сил и моментов векторными уравнениями геометрической суммы сил и моментов.