Скалярными величинами

Проектируя это уравнение на оси координат, получаем для движения центра инерции три скалярных уравнения

Если силы, действующие на точку, лежат в одной плоскости, то получим два скалярных уравнения. Если силы действуют вдоль одной прямой, то, спроецировав уравнение (1.202) на эту прямую, получим одно скалярное уравнение:

Каждое из уравнений системы (2.48) дает три скалярных уравнения, содержащих неизвестные углы •fl'/(1)(ei) (i=l, 2, . . ., п) , Ф/(1)(еу) (v=l,...,p), т. е. уравнения (2.48) дают 3 (п-\-р) скалярных уравнения. В результате из системы (2.47), (2.48) находим все N неизвестных и получаем общее решение уравнения (2.40), удовлетворяющее краевым условиям, и дополнительно находим углы Ф/'^бй) поворота векторов сил и моментов относительно связанных осей.

Из уравнения (4.52) получаем два скалярных уравнения:

Решение задачи начнем с рассмотрения условий равновесия двух-звенной группы, образованной ^звеньями 2 к 3 (рис. 30, б). Подлежат определению реакции FZI, Fzo, Р2з= — Рю, т. е. три вектора или шесть скалярных величин. В данном примере система уравнений для определения неизвестных реакций разделяется на два скалярных уравнения, каждое из которых содержит одну неизвестную величину, и два векторных уравнения, решаемых независимо. Соответственно, все решение состоит из трех этапов.

Решение задачи начнем с рассмотрения условий равновесия двухзвенной группы, образованной звеньями 2 и 3 (рис. 46,6), Подлежат определению реакции F2\, FSO, f 23 = — ^32, т. е. 3 вектора или б скалярных величин. Шесть скалярных уравнений, из которых можно определить неизвестные реакции, могут исполь-зоваться в различной последовательности. В данном примере общая система шести уравнений разделяется на два скалярных уравнения, каждое из которых содержит одну неизвестную величину, и два векторных уравнения, решаемых независимо. Соответственно, все решение состоит из трех этапов.

Обе части винтового равенства (5.22) умножим поочередно на , EZ и Е3, что даст три комплексных скалярных уравнения

В случае плоских механизмов соответственно получаем три скалярных уравнения для определения скоростей и ускорений звеньев и их точек. Этот метод иллюстрирован Р. Войня и М. Ата-насиу преимущественно на примерах плоских механизмов, а также пространственного четырехзвенного механизма с двумя вращательными парами 5-го класса и двумя цилиндрическими парами 4-го класса [18, 152].

Использование формулы конечных поворотов дает возможность Ф. М. Диментбергу отказаться от введения пространственных систем координат при определении фундаментальных параметров механизма и ограничиться лишь разделением уравнений относительно винтов на действительную и моментную части. Таким образом, вместо одного «винтового» уравнения получаются два скалярных уравнения относительно искомых параметров.

Это уравнение замкнутости распадается на три скалярных уравнения

Приравнивая компоненты уравнения (16), соответствующие различным осям координат, получаем три скалярных уравнения

При изменении вектора ОС изменяются только абсолютные величины компонент ОА', OB' и ОС'. Поэтому с векторами ОД', OS' и ОС' мы можем обращаться, как со скалярными величинами (так как они полностью определены, если известна их величина). Таким образом, всякий вектор мы сможем задавать тремя скалярными величинами: тремя компонентами по осям координат.

1 Здесь и далее знаком ~ (тильда) обозначены линейные и угловые скорости и ускорения, а также силы и моменты сил, если они считаются скалярными величинами. Например: ш — вектор угловой скорости, ш — модуль этого вектора, со — производная от угла поворота по времени, которая может быть и положительной, и отрицательной.

*) Производные по обобщенной координате обозначены штрихами. Тильдой обозначены скорости и ускорения, а также их аналоги, если они считаются скалярными величинами.

*) Тильдой обозначены силы и моменты сил, если они считаются скалярными величинами.

В этом уравнении содержится сложная матрица, элементы которой являются матрицами с размерностью 2 X 2. В большинстве случаев эти элементы можно считать скалярными величинами. Следует также отметить, что несмотря на то, что соотношения, связывающие усилия с перемещениями для отдельного элемента, не являются регулярными (так как смещения системы как твердого тела приводят к неединственности d при заданном Р), решение в общем случае должно однозначно определяться действующими нагрузками [при этом требуется обращение уравнений (7)]. Если заданная система рассчитывается на несколько случаев нагружения, удобнее записывать уравнение (7) через коэффициенты податливости, т. е. d = FP. Таким образом, выполняется только одна операция обращения, при этом для записи правой части требуется найти произведение нового вектора нагрузки и матрицы F. Связь между компонентами матрицы податливости и коэффициентами влияния была установлена ранее (см. раздел И, Б, 2). ' „

Если все эксперименты — минимум основные, а также дополнительные — проводятся только для одной ориентации материала, то компоненты тензоров поверхности прочности F,-, f,-j, ... ..., F{jk, ... являются скалярными величинами, и, следовательно, критерий разрушения (5) представляет собой алгебраическое уравнение с экспериментально найденными коэффициентами. Для случая тензорно-полиномиального критерия второго порядка в плоской задаче имеется три коэффициента первого порядка (Fi, F2, F6) и шесть коэффициентов второго порядка (^п, Л2, FIG, p22, ?2в, F66). Экспериментальные данные можно обработать оптимальным образом так, чтобы определить все эти девять величин по напряженному состоянию (а*, а*2, а*^, наблюдаемому при разрушении.

Инварианты для ориентации 6 и 6' можно найти путем подстановки экспериментально измеренных значений FI и F i в уравнения (122). Так как инварианты являются скалярными величинами и не зависят от выбора системы отсчета, их можно осреднять непосредственно. Например, если имеются результаты измерений величины /%• для m различных ориентации, то среднее значение инварианта 1<2> можно найти по формуле

В приведенных случаях аналогичные потенциальные функции и, ит, Т и гз являются скалярными величинами, ?, Я, Т, ty' — векторные величины, характеризующие соответствующие поля (электростатические, магнитные, тепловые и поля скоростей) и равные отрицательным значениям градиентов скалярных функций и, ит, Т и я5. Дивергенция рассматриваемых полей будет

определяемые одним своим численным значением, называются скалярными величинами.

г, р — скалярные меры соответствующих тензоров. Следовательно, при анализе работы однопараметрической конструкции достаточно оперировать со скалярными величинами

Подчеркнутые слагаемые равны между собой, ибо, будучи скалярными величинами, они получаются одно из другого путем транспонирования. Поэтому условие 6F = О можно записать в виде