Скалярной плотности

2. Для определения угла а между векторами v и а воспользуемся их скалярным произведением, из которого следует, что cos a= = va/ua. После соответствующих преобразований получим

б) Пользуясь скалярным произведением, найдите абсолютное значение каждого вектора.

Скалярное произведение. Скалярным Произведением А • В двух векторов А и В называется число, р'авное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

1.2. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением а-b двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между векторами, т. е.

Скалпрное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов а и Ъ называется число (скалярная величина*), равное произведению модулей векторов а и Ь на косинус угла между ними. Обозначается операция скалярного умножения символом (а, Ь). По определению

Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их модулей на косинус составленного векторами угла, не превышающего я:

называют элементарной работой силы Р на бесконечно малом (элементарном) перемещении ds. Угол ф составляет направление силы с направлением элемента траектории ds, совпадающим с направлением касательной к траектории. Вектор элементарного смещения точки df соединяет две бесконечно близкие точки на траектории и имеет модуль \df\-ds и проекции dx, dy, dz. Из курса математики , известно, что скалярным произведением двух векторов, 6с = be cos ф, называют число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Поэтому выражение (10.1) можно записать в виде

разится скалярным произведением вектора излучения qp на dF:

Скалярное произведение двух векторов; угол между ними. Рассмотрим два вектора Р1 и Рг. Их скалярным *) произведением (согласно мемуару Грассмана, Геометрический анализ, 1846) называется число

Таким образом, составляющая смещения дх является скалярным произведением вектора Р и строки матрицы fxi.

У = [У-L, У г, •-, Уп\; z = {z1? za,-..., zn\, то их скалярным произведением называется величина

Электронно-микроскопические данные показывают, что в процессе эксплуатации происходят изменение морфологии цементитных пластин, увеличение скалярной плотности дислокации и изменение дислокационной структуры, которая из сетчатой становится ячеисто-клубковой. Происходит фрагментация цементитных пластин путем перерезания их дислокациями, что приводит к уходу атомов углерода из цементита. Установлено, что объемная доля цементита в перлите за 30 лет эксплуатации уменьшается на 20-30 %. На электронно-микроскопических снимках длительно эксплуатированных труб (20 лет и более) по границам зерен перлита наблюдаются частицы вновь образованного карбида и увеличение количества изгибных контуров [93]. На образцах параллельно со структурными исследованиями проводились измерения микротвердости с помощью микротвердомера ПМТ-3 и определение остаточного напряжения (Ad/d) с применением рентгеновской методики. Полученные данные показывают, что с увеличением длительности эксплуатации металла труб значения микротвердости в области концентраторов.напряжений увеличиваются от 22-Ю8, а значения Ad/d в основном металле увеличиваются от 5,0-10"4 до 5,3-10"4 ПА и в сварном шве от 4,9-Ю-4 до 5,1-Ю"4 ПА. Эти факты указывают на охрупчивание локальных областей трубных сталей в процессе эксплуатации. На это же указывает извилистое распространение усталостных трещин, которое наблюдается в состаренных трубных сталях [91].

И.Н. Кидиным и М.А. Штремелем сформулированы необходимые условия появления границ с большим углом разориентировки, которые являются зародышами рекристаллизации. Первое условие — это достаточно высокая скалярная плотность дислокаций. Оценки показывают, что при размере областей ~ 0,1 мкм в наивыгоднейшем случае, когда все дислокации имеют одинаковый вектор Бюргерса и собираются в одну границу, разориентировка соседних фрагментов на 10 — 15° может быть получена при плотности дислокаций 1011 - 1012 см"2. Второе необходимое условие вытекает из зависимости между разориен-тировкой фрагментов "и распределением дислокаций, которое определяется тензором плотности дислокаций. Из второго условия следует, что даже при высокой скалярной плотности дислокаций большеугловая граница не сможет возникнуть, если нет большого избытка дислокаций одного знака и если дислокации равномерно распределены между системами скольжения.

Рис. 63. Зависимость кривизны дефектной решетки к моно- и поликристаллов №зРе с разным размером зерна от скалярной плотности дислокаций [137-139] Римские цифры - стадии пластической деформации; 7-40 мкм; 2-120 мкм; 3 - 450 мкм; 4 -ориентация [001]

Таким образом, каждая вновь образующаяся субструктура ("дефектная фаза") отличается от предшествующей количественными параметрами —-параметрами порядка взаимного превращения пары субструктур [137]. При переходе от неразориентированных субструктур к разориентирован-ной полосовой субструктуре параметры порядка — избыточная плотность дислокаций и локальная плотность субграниц — в зависимости от скалярной плотности дислокаций обнаруживают поведение, характерное для

Однако эксперименты на статическое сжатие монокристаллов никеля [150] показали, что с ростом деформации в процессе перестройки нераз-ориентированной ячеистой субструктуры в разориентированную ячеистую наблюдается тенденция к снижению коэффициента вариации плотности дислокаций как в стенках ячеек, так и внутри них (рис. 66). Следовательно, флуктуации плотности дислокаций не оказывают существенного влияния на изменение скалярной плотности дислокаций и, видимо, не вызывают смены типа субструктуры [150]. Таким образом, основываясь на результатах экспериментальных исследований, авторы работы [150] практически исключили возможность перестройки дислокационных структур за счет накопления флуктуации в предшествующей структуре.

Фазовые превращения в подсистеме вакансионно-дислокационно-дис-клинационного ансамбля контролируются внутренним параметром системы — скалярной плотностью дислокаций. В работе [139] введена шкала скалярной плотности дислокаций, соответствующая основной схеме превращения дислокационных и дислокационно-дисклинационных субструктур (рис. 68).

порядка размера зерна; для ячеистой или ячеисто-сетчатой — порядка ширины стенок ячеек или размера ячеек; для полосовой — порядка ширины стенок ячеек или ширины сгущений; для полосовой — порядка междислокационного расстояния в субгранице [139]. В соответствии с этим моменту возникновения того или иного типа субструктур (по крайней мере неразориентированного типа) соответствует некоторое критическое значение скалярной плотности дислокаций ре.

Полосовые структуры образуются при высокой скалярной плотности дислокаций в условиях развитой пластической деформации [35, 155]. Для

Указанное на рис. 71 снижение скалярной плотности дислокаций при больших ПД (а также снижение скорости накопления скалярной плотности

Скорость изменения суммарной скалярной плотности дислокаций р = = р+ + р- определяется разностью между скоростью производства дислокаций (dp/dt)+ и скоростью их аннигиляции (dp/dt)~ [133, 174]:

В работах [143, 194, 200, 207, 208] предприняты попытки с позиций синергетики объяснить возникновение дислокационных структур как неравновесных диссипативных структур. В качестве исходной рассматривается модель, в которой дислокационный ансамбль включает в себя дислокации двух типов (/ = 1,2), различающиеся скоростью (быстрые т- и медленные s-дислокации) и испытывающие локальные взаимодействия. Если процесс ПД протекает в некоторой выделенной плоскости скольжения, система эволюционных уравнений для скалярной плотности положительных р + (х, t) и отрицательных р _ (дс, t) дислокаций может быть

И.Н. Кидиным и М.А. Штремелем сформулированы необходимые условия появления границ с большим углом разориентировки, которые являются зародышами рекристаллизации. Первое условие — это достаточно высокая скалярная плотность дислокаций. Оценки показывают, что при размере областей ~ 0,1 мкм в наивыгоднейшем случае, когда все дислокации имеют одинаковый вектор Бюргерса и собираются в одну границу, разориентировка соседних фрагментов на 10 - 15° может быть получена при плотности дислокаций 1011 — 1012 см"2. Второе необходимое условие вытекает из зависимости между разориен-тировкой фрагментов "и распределением дислокаций, которое определяется тензором плотности дислокаций. Из второго условия следует, что даже при высокой скалярной плотности дислокаций большеугловая граница не сможет возникнуть, если нет большого избытка дислокаций одного знака и если дислокации равномерно распределены между системами скольжения.