Скалярное умножение

По правилам умножения матриц элемент сц& матрицы С, находящийся на пересечении «-и строки и /;-го столбца, определяется как скалярное произведение с,-/, = ег-Ьд г'-й строки матрицы Л на k-н столбец матрицы В, т. е.

Мы будем рассматривать величины Я,1} Я2 и ць ц2 как компоненты векторов Я и ц в тех же прямоугольных осях координат. Неравенство (21) показывает, что вектор Я не может иметь направлений, исходящих из начала координат внутрь полупространства, ниже биссектрис второго и четвертого квадрантов, а неравенство (22) требует, чтобы скалярное произведение Я, на ц было неотрицательным.

Далее заметим, что оптимальный проект st и его среднеквадратичные кривизны \it неизвестны, но фиксированы. С другой стороны, проект J,- подчиняется лишь проектному ограничению, которое задает значение Рб и, следовательно, определяет величину вектора Я, если выбрано его направление. Кроме того, в окрестности оптимального проекта st имеются проекты st, дающие веса конструкций, произвольно близкие к минимальному весу. Соответствующие векторы Я произвольно близки к границе полупространства, определяемой неравенством (21). Если скалярное произведение А, и ц будет неотрицательным для всех допустимых векторов Я, то вектор ц будет направлен вдоль внутренней нормали этого полупространства в начале координат; таким образом, (19) является необходимым условием оптимальности. Это доказательство принадлежит Чжу и Прагеру [17].

Определим, далее, wq. — проекцию 1) ускорения w на ось qt, т. е. скалярное произведение ш-т,-:

2. Работа силы. Скалярное произведение Ft-drt, где drt — бесконечно малое приращение радиуса-вектора г( при смещении i-й материальной точки вдоль ее траектории, называется элементарной работой силы FI и обозначается 6Л/. Сумму элементарных работ всех сил, действующих на точки системы, называют элементарной работой сил системы и обозначают

В заключение этого параграфа сделаем следующее замечание об амплитудных векторах v,- (векторах-столбцах матрицы v;-;где точкой в центре обозначено скалярное умножение. Внутренние точки области текучести изображают напряженные состояния, лежащие ниже предела текучести; они соответствуют жесткому состоянию элемента. Точки, расположенные на границе области текучести, называемой поверхностью текучести, изображают напряженные состояния, при которых может возникнуть пластическое течение. Наконец, точки, расположенные вне поверхности текучести, изображают напряженные состояния, которые не могут возникнуть в рассматриваемом элементе конструкции.

Аналогичным образом находим выражение для координат у и г. Чтобы найти обратные формулы преобразования для х', у', г', необходимо произвести скалярное умножение на соответствующий единичный вектор \'х, \'y, \'z. Например, умножая обе части (6.18) на \'х, найдем

1) Скалярное умножение тензора на вектор может быть осуществлено как справа, так и слева; при этом

§ 4. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВИНТОВ

Скалярное умножение винтов будем обозначать точкой. „ Пусть заданы два винта

Произведя скалярное умножение, получим в соответствии с определением

где точкой обозначено скалярное умножение. Вычтя из обеих частей уравнения величину /ср-г и разделив на J, получим

§ 4. Скалярное умножение винтов ............... 38

X (первичное выражение) (скалярное умножение

ведения (А, В) действительны и скалярное умножение векторов коммутативно,, так что (А, В) = (В, А); (аА, В) =а(А, В).

Конечномерное (числовое, точечное) линейное пространство п измерений, в котором определено скалярное умножение, называется евклидовым пространством (обозначается ?п, где п — натуральное число). При п=1 пространство ?„ вырождается в числовую ось. Скалярное произведение в евклидовом пространстве дается формулой