Скалярного произведения

Формула этого вида определяет векторную функцию скалярного аргумента. Векторной функцией скалярного аргумента называется правило, по которому каждому числовому значению аргумента (в данном случае t) соотносится некоторый вектор (в данном случае г). В формуле (8.4) это правило обозначается как г в правой части, а вектор, получаемый по этому правилу, — как г в левой части. Так же как и в формулах (8.1), такое употребление одного и того же символа в двух различных смыслах путаницы не вызывает.

Положение точки М определяется заданием радиус-вектора г этой точки в функции скалярного аргумента'!: " '"'•'''"'""'

Раскрытие таких сложных произведений, эквивалентных тензорам матриц, представляется более громоздким, нежели получение уравнений для определения скоростей и ускорений путем непосредственного дифференцирования алгебраических уравнений для определения перемещений механизма после раскрытия матричных уравнений в форме (3.21), (3.24) или (3.20). Однако непосредственное дифференцирование тензорно-матричных уравнений может быть использовано в том случае, если правые и левые части упомянутых уравнений являются достаточно простыми, например содержат по одной матрице. При этом необходимо знать операцию дифференцирования тензор-матрицы по скалярному аргументу, имея в виду, что ее элементы являются функциями этого скалярного аргумента.

§ 2. ВИНТ КАК ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

Чтобы установить общий вид определяемой функции, выразим аргумент через комплексные координаты векторов в системе прямоугольных координат с началом в точке О, а затем применим формулы для функций комплексного скалярного аргумента, приведенные в главе II. Таким образом, для рассматриваемой области функции принимается поставленное ранее условие дифференци-руемости функции комплексного скалярного аргумента и независимости производной от направления дифференцирования, т. е. условие аналитичности.

§ 2. Винт как функция скалярного аргумента.......... 72

Дифференцирование тензора по скалярному аргументу. Тензоры, определяющие параметры движения звеньев пространственных механизмов, содержат элементы, являющиеся функциями скалярного аргумента, а именно, параметра времени t.

3. Рассмотрим производную вектора постоянной длины. Если вектор а при изменении скалярного аргумента меняет свое направление, но сохраняет ceoto длину, имеем

Соотношения, устанавливающие связь между базисными векторами при изменении их положения в пространстве, были получены в § 3. Изменение положения осей, связанных с осевой линией стержня, может произойти вследствие двух причин: 1) изменение положения осей во времени при фиксированной координате s из-за движения гибкого стержня или нити (см. рис. 4.1); 2) изменение положения осей при переходе в соседнюю точку вдоль осевой линии стержня в фиксированный момент времени ta. Базисные векторы et (s, t) в общем случае зависят от двух независимых параметров t и s. В первом случае изменение положения осей зависит от скалярного аргумента t при фиксированном s; во втором случае изменение положения зависит от скалярного аргумента s при фиксированном t. При движении стержня происходит непрерывное изменение положения его осевой линии и ее формы (из-за деформации стержня). Для описания движения стержня с определением в каждый момент времени формы осевой линии необходимо знать производные векторов связанного базиса по аргументам t и s.

1. Формирование множества Хе всех допустимых значений всех управляющих переменных данного этапа. Под значениями управляющих переменных понимаются объекты произвольной природы (числа, варианты средств, способы, компоновки, принципы и т. п.). Для переменных нечисловой природы вводятся специальные обозначения — дескрипторы. Для описания вариантов средств конструктивной реализации используются вектор-функции скалярного аргумента. Название, обозначение или марка механизма (блока или устройства) — аргумент; описывающие его величины (стоимость, надежность, точность, переналаживаемость, масса, энергоемкость и т. п.) — компоненты вектор-функции.

В силу условия (8.15) %[ — > 0 при i •—>со. Для функций скалярного аргумента х разложение (8.16) заведомо возможно для всех практически встречающихся функций

ставить в виде скалярного произведения векторов (fv)'> (А>)*> ^v и орта соответствующей оси. Так, например, проекция скорости точки В на ось zv равна

ния. Краткая запись основной теоремы зацепления в аналитической форме основана на условии перпендикулярности векторов v, и п, записанном в форме скалярного произведения векторов:

знак скалярного произведения, называется такое конечное множество векторов {nrlv..,Gr9} пространства R", что каждому не-

а косинус угла между векторами I и R — в виде скалярного произведения их ортов е и г:

Подставляя значения ел, /х и используя свойства скалярного произведения ортов, получим

Рис. 2.11. а) Для образования скалярного произведения А • В приведем векторы Л и В к общей начальной точке, б) В (A cos 6)=А • В. в) А (В cos 6)=А • В. Здесь буквой 6 обозначен угол между векторами А и В.

Здесь cos (А, В) обозначает косинус угла между векторами А и В. Очевидно, что определение скалярного произведения совсем не связано с системой координат, т. е. скалярное произведение векторов представляет собой скаляр. Заметим, что cos (А, В) = cos (В, А), и поэтому скалярное произведение коммутативно:

Величина двойного скалярного произведения не изменяется при циклической перестановке порядка векторов, но меняет знак, если нарушается циклический порядок векторов. Циклическими перестановками для ABC будут ВСА и CAB; антициклическими перестановками для ABC будут ВАС, АСВ и СВА.

Тогда, например, для скалярного произведения получаем

Нетрудно проверить, что для скалярного произведения справедливы следующие правила:

Нетрудно видеть, что аналогичным образом умножение вектора на число сводится к умножению каждой из его проекций на это число. Для скалярного произведения с учетом (6.10) получим следующее выражение: