Скалярному аргументу

между этими векторами (рис. 2.11). Операция скалярного умножения двух векторов обозначается точкой между символами сомножителей:______________________

Однако не всегда оказывается возможным или удобным учитывать работу сил в виде изменения потенциальной энергии системы. Если систему нельзя рассматривать как изолированную, то, помимо внутренних сил, действующих между точками системы, на некоторые точки могут действовать внешние силы и работа этих сил не может быть учтена как изменение потенциальной энергии системы. Тогда закон сохранения энергии должен быть формулирован иным образом. Обозначим внутренние силы, работа которых учитывается в виде изменений потенциальной энергии, по-прежнему через Fik, а внешние силы, работа которых не учитывается в виде изменений потенциальной энергии, — через Ф,. Уравнения движения материальных точек системы после скалярного умножения их на соответствующие бесконечно малые перемещения dx-t будут иметь вид

Скалпрное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов а и Ъ называется число (скалярная величина*), равное произведению модулей векторов а и Ь на косинус угла между ними. Обозначается операция скалярного умножения символом (а, Ь). По определению

После скалярного умножения уравнения (7.13) на орт i получаем выражение для определения неизвестного /ос:

После скалярного умножения этого уравнения на орт ez имеем-

Как нетрудно видеть, этот результат вытекает из формулы для скалярного умножения винтов и из распределительного свойства скалярного умножения, интерпретируемого как равенство проекции суммы винтов на ось сумме проекций слагаемых на ту же ось.

Используем соотношение, которое является следствием операции скалярного умножения для векторов и тензоров:

В математической постановке задач ОМД наряду с полным поверхностным напряжением а" используются проекции р" и т" этого напряжения на направление нормали п к площадке Л5 и на саму площадку соответственно (рис. 28). Первая проекция р" называется нормальным поверхностным напряжением. Модуль этой проекции, как известно из векторной алгебры, находится путем скалярного умножения о" на п:

где использована символика р-скалярного умножения (П1.33) тензора

обладающий согласно правилу скалярного умножения диады на вектор (5.172) следующим свойством:

обладающий в силу правила скалярного умножения тензора на вектор (5.38) следующим свойством:

Упражнение 4.4. Доказать, что, проделывая выкладки, указанные в условии упражнения 4.3, после скалярного умножения век-

т. е. производная векторной функции r(s) по ее скалярному аргументу s есть вектор, направленный по касательной к кривой.

2.3. Производные базисных векторов. Рассмотрим производные единичных векторов е; по координате s. Так как производная от вектора по скалярному аргументу есть вектор, то представим его в виде разложения по базисным векторам {е,-}. Определим пока положение только одного единичного вектора е,, направив его по касательной к кривой, например к осевой линии стержня (рис. П. 10):

Если аналитическим методом определены линейные и угловые перемещения звеньев и их характерных точек как функции параметра времени, то скорости движения определяют путем дифференцирования полученных функций перемещения по параметру времени. При этом получают функции скоростей движения соответствующих звеньев и их точек. При дифференцировании по параметру времени функций скоростей определяют ускорения как функции параметра времени и геометрических параметров механизмов. При представлении функций перемещения звеньев в векторной форме их дифференцирование осуществляется по параметру времени в соответствии с известными правилами дифференцирования векторных функций по скалярному аргументу.

Напомним основные правила дифференцирования векторных функций по скалярному аргументу (в нашем случае -параметр времени г). В дальнейшем производные вектор-функций по параметру времени будем обозначать точками над их буквенными обозначениями. Производные скалярного и векторного произведений двух векторов х (t) и у (г) определяют по следующим равенствам соответственно

Раскрытие таких сложных произведений, эквивалентных тензорам матриц, представляется более громоздким, нежели получение уравнений для определения скоростей и ускорений путем непосредственного дифференцирования алгебраических уравнений для определения перемещений механизма после раскрытия матричных уравнений в форме (3.21), (3.24) или (3.20). Однако непосредственное дифференцирование тензорно-матричных уравнений может быть использовано в том случае, если правые и левые части упомянутых уравнений являются достаточно простыми, например содержат по одной матрице. При этом необходимо знать операцию дифференцирования тензор-матрицы по скалярному аргументу, имея в виду, что ее элементы являются функциями этого скалярного аргумента.

Известно, что производная тензора Т по скалярному аргументу определяется при помощи следующего предельного перехода:

Дифференцирование тензора по скалярному аргументу. Тензоры, определяющие параметры движения звеньев пространственных механизмов, содержат элементы, являющиеся функциями скалярного аргумента, а именно, параметра времени t.

При отыскании скоростей и ускорений движения таких систем необходимо определять производные тензоров по скалярному аргументу t. Известно [58], что производная тензора по скалярному аргументу определяется по обычному для непрерывных функций правилу

Совершенно аналогично может быть найдена вторая производная по скалярному аргументу t тензора:

Произведение винтового аффинора на винт справа и слева осуществляется аналогично умножению тензора на вектор справа и слева (см. стр. 60). Совершенно аналогично осуществляется и дифференцирование винтовых аффиноров по скалярному аргументу, так как все правила дифференциального (а также и интегрального) исчисления распространяются на винтовые аффиноры.

— Диференцирование по скалярному аргументу 1 (1-я)—191