Слагаемые уравнения

В общем случае векторы Q и М считать малыми (в отличие от векторов и, Ах и ф) нельзя, поэтому система дифференциальных уравнений (4.49) — (4.53) даже при малых и, * и Ах является нелинейной. В § 1.4 были получены уравнения нулевого приближения, в уравнениях равновесия сил и моментов которых принималось х«^хо(1), что эквивалентно условию Ах^О, поэтому слагаемые, содержащие Ах, принимались равными нулю: AxXQ=AxXM^O. Это можно было принять, так как для криволинейного стержня можно считать, что х;о>Ах3-. Для прямолинейных стержней к;о=0, и поэтому нет оснований без дополнительного анализа пренебрегать в векторных уравнениях слагаемыми AxXQ; AxXM.

AMi<'> и AMi(2) можно рассматривать соответственно как величины первого и второго порядка малости, поэтому AAfi<2) при получении линейного уравнения (4.59) можно пренебречь, т. е. для прямолинейных стержней всегда можно считать, что Afi=y4nAxi=Afio+ H-AAfi'1'. Поэтому слагаемые в уравнениях (4.57) и (4.58), содержащие Ахь определяются так:

Если имеются следящие моменты с отличными от нуля проекциями на направления касательной к осевой линии стержня (Г10?= =^0), то в этом случае Axi=MioMn и поэтому слагаемые, содержащие произведения AxiAxa, AxiAx3, следует сохранить.

Элементы матриц Вь 62, Вз и 64 содержат 6-функции, и поэтому слагаемые, содержащие эти матрицы, перенесены в правые части уравнений. При решении система (4.97) рассматривается как система неоднородных уравнений. Более подробно решение аналогичных уравнений, содержащих б-функции, было изложено в гл. 2.

В выражениях (4.29), (4.30) для элементов матриц g<">, (p("> слагаемые, содержащие множители L^, Ljk, Lih следует учитывать лишь в том случае, если соответствующая сторона элемента п принадлежит внешней границе L.

Аналитический метод синтеза сопряженных поверхностей в пространственном зацеплении. Как видно из предыдущего примера синтеза сопряженных профилей в плоском зацеплении, основным этапом этого синтеза является определение положения звена, при котором выбранная точка его профиля входит в контакт с другим профилем. При аналитическом решении на основании уравнения зацепления этот этап сводится к решению квадратного уравнения. Для пространственного зацепления полностью сохраняется вся последовательность выполнения указанных трех этапов, и решение задачи также сводится к решению квадратного уравнения. Только при выполнении преобразований координат и при определении проекций на координатные оси добавляются слагаемые, содержащие координаты z0, г\ и Z2.

Сначала проанализируем устойчивость положения при ф = 0. Раскладывая полную потенциальную энергию П в ряд по степеням отклонения бф от этого положения и удерживая слагаемые, содержащие бф до четвертой степени, получаем

В этих формулах, как и в формулах (2.26), опущены слагаемые, содержащие малые по сравнению с единицей множители типа

Причем в выражение для A3 входят перемещения ы2, vz, wz. Использовав зависимость (2.45) и формулы (2.50), из этого выражения можно выделить слагаемые, содержащие перемещения и.2, vz, до2. Тогда получим A3 = Аг + Л2, где

Покажем, что выражение (5.21) тождественно выражению (5.4) при любых совместимых со связями перемещениях ма (х, у) и и2 (х, у). Для этого в выражении (5.21) выделим все слагаемые, содержащие эти перемещения и их производные:

Перемещения uz (х, у), vz (л;, у) можно выбрать так, чтобы в выражении (5.21) обратить в нуль все слагаемые, содержащие начальные усилия Т%, Ту, S°. Для этого с помощью соотношений упругости введем величины

Слагаемые уравнения зависят от влажности воздуха, температуры, скорости ветра и других метеорологических факторов.

При определении перемещения (v или 0) какого-либо сечения К с координатой ZK следует учитывать лишь те слагаемые уравнения (76) или (77), у которых разность (ZK — QI) или (ZK— bt) больше нуля. Например, прогиб в сечении К, (z= ZK) (рис. 28) определяется выражением

Придадим уравнению (18.1) (или (4.9)) более универсальную форму. Для этого выразим слагаемые уравнения (18.1) через коэффициенты интенсивности. Умножив левую часть уравнения (18.1) па Е/(\~\'~) и воспользовавшись соотношениями (3.6), (3.8), (3.9), получим /

С учетом свойств системы ортогональных функций все слагаемые уравнения (2.33) при i ^ j равны нулю, поэтому при j = j уравнение (2.33) можно представить в виде

С геометрической точки зрения слагаемые уравнения Бернулли представляют собой следующее: г — высоту, на которой располагается центр живого сечения над плоскостью сравнения б—О (рис. 3.3),

При определении перемещения (v или 6) какого-либо сечения К с координатой ZK следует учитывать лишь те слагаемые уравнения (76) или (77), у которых разность (ZK — о;) или (г^ —и,-) больше нуля. Например, прогиб в сечении К (z= ZK) (рис. 28) определяется выражением

Обозначив второе и третье слагаемые уравнения (4.10) соответственно через 5ДУ и S3 можно представить его в виде

Аналогично можно построить и слагаемые уравнения (7), если оно содержит члены, имеющие форму Вхт или Суп.

Приравнивая нулю слагаемые уравнения моментов с множителями ti, t2, n в отдельности-, получим три скалярные уравнения

сравнению с единицей, можно не учитывать второе и третье слагаемые уравнения (7.35) по сравнению с первым и заменить это уравнение приближенным o8-j-/nl==0. Корни этого уравнения

Приближенное удовлетворение уравнений достигается при произвольной геометрии оболочки, если напряженное состояние ее изменяется быстро хотя бы в одном направлении (так как погрешность пропорциональна if, а отдельные слагаемые уравнения содержат производные if по обеим координатам).