Случайных колебаний

В практических приложениях часто приходится решать задачу нахождения законов распределения и вероятностных характеристик функций случайных аргументов.

Для вероятностных расчетов необходимо определение рассеяния функции по рассеянию случайных аргументов, т. е. рассеяние основного рассчитываемого параметра по рассеянию расчетных характеристик и других исходных параметров.

Более полная схема потери работоспособности узла трения должна учитывать начальное рассеяние параметра U, полученное в процессе приработки. Следовательно, срок службы узла трения является функцией двух независимых случайных аргументов а„ и у:

Функциональная зависимость, хотя и абстрагирует действительность и лишь с известной степенью приближения отражает физическую сущность процесса, но позволяет предсказывать возможный ход процесса при различных ситуациях. Так, например, подстановка в уравнение (1) средних значений аргументов дает представление о математическом ожидании случайной функции, описывающей процесс, а по дисперсии случайных аргументов можно оценить и дисперсию случайного процесса (см. гл. 3 и гл. 4). Поэтому «Физика отказов», которая изучает закономерности изменения свойств материалов в условиях их эксплуатации, является основой для изучения и оценки надежности машин.

Во-вторых, стохастическая природа процессов старения связана с широкой вариацией режимов работы и условий эксплуатации изделий. В результате зависимости, описывающие процессы старения, становятся функциями случайных аргументов—нагрузок, скоростей, температур и т. п.

Приведем пример представления процессов старения в виде случайных функций. Простейшим будет случай, когда у не изменяется во времени, а ее значение зависит лишь от режима и условий работы материала. Тогда будет иметь место стационарный процесс (по отношению к 7)» параметры которого можно оценить, зная законы распределения случайных аргументов и используя соответствующие теоремы теории вероятностей. Так, например,

Пусть из условий эксплуатации известно, что спектры нагрузок подчиняются нормальным законам распределения с параметрами — математическим ожиданием рср и оср и среднеквадра-тическим отклонением ар и а0. Известно также среднее значение &ср. Если считать, что факторы, определяющие значение коэффициента k (смазка, загрязнение поверхности абразивом), существенно не изменяются, а на процесс изнашивания влияют лишь изменения нагрузок и скоростей, то можно определить параметры процесса изнашивания, пользуясь теоремами для случайных аргументов.

Для более сложных зависимостей бывает трудно в аналитической форме определить параметры случайного процесса у (I) то параметрам его случайных аргументов. В этом случае с успехом может быть применен метод статистического моделирования (см. гл. 4, п. 4).

где а — начальный параметр изделия (например, точность изготовления детали), который также является случайной величиной и подчиняется некоторому закону распределения. Срок службы является функцией двух независимых случайных аргументов a и -

Кроме того, при оценке надежности изделия с учетом всех ; его, основных параметров Xlt Х2, ..., Хп режимы по-разному отразятся на- их изменении, что исключает возможность предопределения заранее наихудшего их сочетания. Все это свидетельствует о том, что выявление экстремальных ситуаций также является задачей статистического исследования, которое может быть проведено с применением метода Монте-Карло. Однако разы- , грывание должно вестись в области, соответствующей малой вероятности отказа, но, при допустимых значениях, входных параметров (значений случайных аргументов).

^Следует иметь в виду, что приведенные уравнения, хотя и написаны в детерминированном виде, могут рассматриваться как функции случайных аргументов. Это позволяет оценить параметры случайного процесса изнашивания. Так, определение математического ожидания и дисперсии процесса изнашивания, описываемого уравнением (5), было приведено выше (см. гл. 2, п. 5). - -4. Зависимость износа от механических характеристик материалов. На скорость изнашивания существенное влияние оказывают механические характеристики материала, его химический Состав и структура. Поскольку отделение продуктов изнашивания возможно лишь при разрушении микрообъемов, все прочностные 24ц

В предыдущих разделах размеры элементов конструкций заданной надежности определяли в предположении, что силами инерции при определении напряжений можно пренебречь. В данном разделе эта задача решается для варианта случайных колебаний конструкций с учетом возникающих сил инерции. Предлагаемая ниже методика применима для различных типов элементов конструкций, размеры сечений которых определяются одним параметром (стержни, пластаны, оболочки с постоянным сечением, либо переменным, но зависящим от одного параметра).

В этом случае присоединяемые к объекту устройства называют инерционными динамическими гасителями. Инерционные гасители применяют для подавления моногармонических или узкополосных случайных колебаний.

Содержание настоящего параграфа не является традиционным для теории колебаний. В теории колебаний случайные колебания рассматривались лишь как результат случайных воздействий на колебательную систему. Возможность самогенерирования динамической системой случайных колебаний, несмотря на очевидную реальность стохастических волн и турбулентных колебаний, оставались вне рассмотрения. Отчасти это связано с тем, что основными установившимися движениями, исследуемыми

Уравнения малых колебаний стержней, осевая линия которых •есть плоская кривая. На рис. 3.7 показана спиральная пружина, осевая линия которой как в естественном (Т = 0), так и в нагруженном состоянии (Т^О) есть плоская кривая. Если пружину отклонить от состояния равновесия, она начнет совершать колебания. Если ее отклонить в плоскости чертежа, то малые колебания будут происходить в плоскости чертежа, если отклонить относительно плоскости, то возникнут малые пространственные колебания. Если пружина (упругий элемент прибора времени) находится на ускоренно движущемся объекте, ускорение которого имеет случайную составляющую Ла(/), то это приведет к появлению вынужденных случайных колебаний, в общем случае пространственных. Постоянная составляющая ускорения а0 нагружает стержень, т. е. в этом случае Qio=^=0, Q2o?=0 и уИзо^О.

статистической механики, например [1, 3, 10, 14]. Кроме того, как правило, в настоящее время на многих технических специальностях читаются курсы лекций, посвященные теории случайных процессов и методам расчета конструкций при случайных воздействиях. Поэтому ограничимся кратким изложением основных результатов теории случайных процессов, необходимых для решения уравнений случайных колебаний стержней.

§ 6.1. Уравнения малых случайных колебаний стержней

ной задачам статики стержней. Методы определения векторов, характеризующих детерминистское динамическое состояние стержня, изложены в предыдущих главах. В данной главе изложены методы определения векторов, характеризующих случайное динамическое напряженно-деформированное состояние стержня. Ограничимся рассмотрением малых слу-"х, чайных колебаний. В этом случае уравнения малых случайных колебаний стержней независимы от уравнений детермини-рис fig стских малых колебаний и имеют вид

Для решения уравнений случайных колебаний (6.1) надо знать все вероятностные характеристики случайных возмущений «входа» (каждой из компонент векторов Aqc, Ацс, ДРС«> и ATC
Например, решив уравнения случайных колебаний стержня, получаем АМ2с(е, т) и ДМ3с(е, г). Предполагая, что они имеют

Рассмотрим уравнение случайных колебаний стержня (6.24), приближенное решение которого ищем в виде (6.25). В результате получаем систему уравнений, аналогичную (6.26), для стержня (см. рис. 6.6), нагруженного силой АР и моментом AT:

§ 6.1. Уравнения малых случайных колебаний стержней..... 142