Случайными амплитудами

весия стержня становится неустойчивым и при малых случайных возмущениях переходит в новое Рис. 3.1состояние равновесия, показанное

Существенно иное, статистическое направление теории оптимальных систем возникло примерно одновременно с теорией детерминированных систем. Статистическое направление, во всяком случае на начальной стадии, базировалось на математической теории Колмогорова — Винера. Кроме того, был создан другой метод — метод канонических разложений, часто оказывающийся более удобным для приближенного решения сравнительно сложных задач. Вначале работа в области статистических методов в автоматике велась главным образом в направлении развития статистических методов исследования стационарных линейных систем в установившемся режиме при стационарных случайных возмущениях, применения этих методов к задачам практики и их распространения на линейные импульсные системы.

В теории автоматического регулирования, радиотехнике и электронике разработывают много приближенных методов анализа и синтеза нелинейных систем при случайных возмущениях [9, 13, 25, 33, 34, 47, 69, 81 и др. ]. Некоторые из этих методов можно использовать и при рассмотрении вопросов динамики механических систем.

Одной из первых работ, посвященных исследованию динамической устойчивости конструкций при случайных возмущениях, является работа об устойчивости системы с жидким наполнением [53]. Результаты дальнейшего исследования нами статистической динамики линейных и нелинейных параметрических систем приведены в этой и следующей главах.

Рассмотрим квазистатический метод решения задач при узкополосном характере внешних возмущений. Этот метод решения задач при случайных возмущениях применяют в том случае, когда время корреляции тк0р значительно больше времени релаксации амплитуды и фазы Трел:

Из условия (5.91) при i, / =1, 2 следует уравнение (5.90). Экспериментальное исследование комбинационного резонанса при случайных возмущениях также удобно осуществлять с помощью АВМ [12].

16. Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И. Некоторые задали, касающиеся устойчивости при малых случайных возмущениях. «Теория вероятностей и ее применение», 1972, т. 17, вып. 2, с. 281—295.

55. Николаенко Н. А., Мальцева И. П. Нелинейная виброзащита при импульсивных и случайных возмущениях. В сб. «Исследования по теории сооружений». М., «Стройиздат», 1970, вып. 18, с. 128—146.

94. Хасьминский Р. Э. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М., «Наука», 1969, с. 375.

Функции регулятора сводятся к обязанностям поддержания определенных, установленных устройством управления, величин на выходе управляемой системы при различных случайных возмущениях на входе управляемой системы. Схема системы управления с учетом функций регулятора показана на рис. 2, где Ч — чувствительный элемент; МУ—моделирующее устройство; И У—-исполнительное устройство.

16 Туник А. А., Пойда В. Н., Лобовкин М. И. Применение ЭВМ для автоматизации виброиспытаний при случайных возмущениях. — Механизация и автоматизация производства,

К таким объектам относятся, например, современные редук-торные механизмы. Основными источниками вибраций и шумов в них являются процессы пересопряжения зубьев и влияющие на них погрешности изготовления зубчатых колес, монтаж передачи, дисбаланс валов и т. д. В работе [40] приводится диагностическая модель простейшей прямозубой передачи, в которой учтены следующие факторы: профильные погрешности зацепления, переменная жесткость зацепления, ошибки основного шага и деформации зубьев, приводящие к соударениям при входе зубьев в зацепление. В этой модели переменная жесткость зацепления представляется ступенчатой функцией времени со случайными амплитудами и случайной длительностью интервалов однопарно-го и двупарного зацепления, величина деформации пары зубьев моделируется суммой двух гармонических сигналов со случайными амплитудами и фазами, а ударное возбуждение характеризуется серией мгновенных ударов со случайной амплитудой, синхронизированных со случайными моментами входа зубьев в зацепление. Диагностическая модель зубчатой пары представляется, таким образом, в виде линейной системы со случайными параметрическим, кинематическим и импульсным возбуждениями. В ряде случаев характеристики этих случайных величин удается подобрать таким образом, что выходные сигналы модели становятся адекватными сигналам реальной зубчатой пары по целому ряду диагностических признаков [120]. Следует отметить, что информативными признаками здесь являются довольно сложные характеристики сигналов (биспектры, двумерные функции распределения вероятностей, линии регрессии, кепстры и т. п.), получение которых доступно только при использовании быстродействующих ЭЦВМ. Анализ некоторых из них показывает, что в редукторных механизмах наблюдается сильная нелинейная связь между различными компонентами акустического сигнала [39]. Это говорит о наличии в реальных объектах нелинейных элементов и о необходимости дальнейшего улучшения акустической модели диагностики зубчатого зацепления.

Естественно, что эта сумма для каждой пары зубьев, входящих в зацепление, будет различной. Поэтому можно приближенно моделировать величину деформации пары зубьев Аг (t) как сумму двух гармонических функций с известными частотами, но случайными амплитудами и фазами:

Для пояснения изложенного на рис. 11.8 показано несколько реализаций jj,l) (ф) (t = 1, 2, . . ., 6) случайной функции (11.1), представляющих собой овальности (k = 2) со случайными амплитудами х(ъ\ фазой г41> и собственно размером r(t) в полярной (рис. 11.8, а) и прямоугольной (рис. 11.8, б) системах координат. Из рис. 11.8, б видно, что изменение случайной функции 2 (ф) протекает однородно по углу поворота ф, т. е. математическое ожидание т^2 (ф) и среднее квадратическое отклонение сг2 (ф) не зависят от угловой координаты [см. ниже формулы (11.48), (11.53)1. В данном случае суммарное распределение /2 (?2)1. изображенное справа на рис. 11.8, б, является законом Гаусса [см. равенство (11.65)].

Примером данной модели может служить погрешность формы, обусловленная суммой большого числа гармонических колебаний одного периода с постоянной фазой и случайными амплитудами. Каждая из гармонических составляющих вызвана действием того или иного технологического фактора. К их числу относятся, например, геометрические погрешности шпинделя, неравномерность податливости системы:' шпиндель — зажимное устройство — деталь по углу поворота, изменение усилия резания в течение одного оборота шпинделя, колеблемость припуска и твердости в поперечном сечении заготовки и т. д. Эти факторы могут быть как с неслучайными фазами, систематически повторяющимися у всех деталей партии, так и со случайными в каждой детали амплитудами, распределенными по закону Релея.

ных совокупностью гармоник со случайными амплитудами Хь и фазами %, характеризует отклонения текущего размера по углу поворота и, следовательно, определяет погрешность формы в, поперечном сечении.

Спектральная модель. Развитые турбулентные течения связаны с наличием большого числа степеней свободы, поскольку они представляют собой суперпозицию вихрей разных размеров и направлений. В связи с трудностями описания таких течений рас-бйатривают упрощенные модели. В дальнейшем ограничимся рассмотрением одномерной модели течения, характеризующейся усредненной скоростью U и средним квадратическим значением продольной составляющей пульсационной скорости и. Считая турбулентные пульсации скорости в потоке стационарными, представим случайные колебания и (t) на временном интервале [ — Т, Т] в виде бесконечного ряда гармонических колебаний с различными частотами соу- = 2л j/ Т и случайными амплитудами uf.

Переменные нагрузки со случайными амплитудами, вызываемые воздействиями природных факторов, порывами ветра, ударами волн, случайными колебаниями оснований, случайными неровностями дороги, неоднородностями обрабатываемой среды, воздействием рабочих процессов, в том числе тяговой силы реактивных летательных аппаратов.

При вибрационной диагностике проводится запись динамических смещений или скоростей с помощью вибродатчиков, установленных на корпусе машины. Вибросмещения корпуса представляют собой случайные колебания, состоящие из множества отдельных колебаний со случайными амплитудами и частотами. Это связано с тем, что вибрации появляются в результате наложения большого числа разнообразных динамических воздействий, возникающих в элементах машины (собственные и вынужденные колебания,, соударения, воздействия рабочей и внешней среды и т. п.). Среди воздействий, носящих хаотический, случайный характер могут быть и «полезные сигналы», несущие диагностическую информацию о конкретном дефекте. При акустической диагностике записывается шум, вызываемый движением и колебаниями частей машины и воздействием рабочего процесса на окружающую атмосферу (например, выхлопных газов, реактивной струи и т. п.). Так же как и в задачах вибрационной диагностики, акустические колебания представляют собой случайный процесс, содержащий диагностическую информацию.

Пример. Измеряемый параметр представляет собой детерминированную функцию времени, на которую накладываются колебания со случайными амплитудами, но с постоянной частотой х (t) — <р (t) + и cos (at) -f- v sin (cut), где и, v — случайные величины, не зависящие от времени, с известными плотностями распределений. Требуется определить статистические характеристики (среднее значение и корреляционную функцию) случайной функции х (t).

Выделение огибающей процесса (амплитудное детектирование). Эта операция целесообразна, если процесс представляет собой совокупность узкополосных сигналов, которые могут быть описаны как синусоиды со случайными амплитудами и (или) фазами:

Выразим Э2 через А на основании (1.17), (1.18) и подставим в уравнение (1.16). В результате получим функциональную связь между случайными амплитудами Q и А. Так, например, для максимальных амплитуд Лтах — Л* имеем