Случайным величинам

Рассмотрим круглую пластину радиусом 1 м, нагруженную в центре сосредоточенной силой Р, величина которой описывается стационарным нормальным случайным процессом с корреляционной функцией типа (2.10). Концы пластины защемлены по всему контуру. Надо подобрать толщину пластины h так, чтобы ее надежность по жесткости равнялась 0,99, Пусть и>зад = 0,5 • 10~2 м; Т = 10 лет = = 315 • 106 с; тр = 10 Н; ар = 1 Н; а = 0,1 с'1 ; 0= 0,7 с"1 ; Е= 2 • 10" Па. По (2.15) найдем, что А = 22. Тогда

СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ x(t] будем считать такой процесс, при котором значение х в каждый момент времени не может быть заранее предсказано и свойства которого определяются лишь статистическими его характеристиками.

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС - термин для обозначения реального физического процесса,представляемого в виде ансамбля реализаций. Реально существуют физические процессы «которые можно описать той или иной вероятностной моделью -случайным процессом определенного типа.

Значение Т определяется предельно-допустимой величиной выходного параметра X = Хтах и некоторым случайным процессом потери работоспособности X (t) — например, износом изделия, его коррозией и т. п. (см. гл. 2). Срок службы (наработка) до отказа t = Т является случайной величиной и характеризуется некоторым законом распределения, например плотностью вероятности / (/) (рис. 3) и числовыми характеристиками — математическим ожиданием М (t), дисперсией D = or2 и др.

При исследовании надежности бум&годел^тельной машины как технологической системы с последовательно установленными в ней функциональными частями использовались следующие допущения: во-первых, за время устранения отказа системы (восстановления или замены элемента) во всех других элементах не происходит изменение надежности;. во-вторых, интенсивность отказов каждого элемента составляет малур величину от интенсивности отказов системы; в-третьих, при длительной эксплуатации вероятности состояний системы достигают некоторого стабильного значения, т.е. ft(t)-— PI . При, принятых допущениях процесс эксплуатации мавины будет марковским случайным процессом. Рассмотрены различ-

от наработки, очевидно будет случайным процессом. Однако можно предположить, что предельное значение параметра Впр • соответствующее достаточно развитому усталостному выкрашиванию, должно быть ограничено условием исключения аварийного выхода подшипника из строя. Данное условие является необходимым исходя из требования минимизации критерия эксплуатационной эффективности, обусловливающего уменьшение времени восстановления работоспособности машины. Без большой потери в ресурсе подшипника предельная величина диагностического параметра может быть принята детерминированной, а введение некоторого интервала его рассеивания необходимо для подготовки и проведения замены дефектного подшипника. Ресурс будет использован полностью, так как стандартная методика расчета подшипников по критерия контактной выносливости ограничивает работоспособность первыми следами усталостного выкрашивания.

Однако широкое практическое использование функции распределения и автокорреляционной функции встречает затруднение в связи с большим объемом вычислений при статистической обработке экспериментальных данных. Кроме того, на профиль поверхности, подвергаемый аппаратурному анализу, накладываются определенные ограничения: он должел быть описан стационарным случайным процессом, обладающим эргодиче-

Эти формулы получены в предположении, что профиль поверхности в изучаемом направлении описывается нормальным стационарным случайным процессом, что справедливо для шлифованных, хонингованных и приработанных поверхностей трения [107].

На приработанных поверхностях преобладает нерегулярная шероховатость, которой свойственны как случайное очертание неровностей, так и их случайное расположение по высоте; как показано [107], эта нерегулярная шероховатость может быть приближенно описана нормальным стационарным случайным процессом. Начальная часть опорных кривых вполне удовлетворительно может быть выражена уравнением вида tp = be,v.

Функцию типа у (х, со) называют случайным процессом, если множество Т представляет собой вещественную прямую или ее отрезок, однако в технике принято называть процессами явления, протекающие во времени.

Подставляя уравнение (15) в (4), получаем отношение для расчета долговечности при нагрузке случайным процессом а — f (t). Для расчета долговечности необходимо также обработать случайный процесс, чтобы получить его статистические характеристики и блок гармонических циклов.

1. В технических расчётах необходимо пользоваться правилами, установленными теорией вероятностей, во всех тех случаях, когда дело касается массовых явлений, относящихся к случайным событиям или случайным величинам.

Вычисление вероятности получения значений случайной величины в указанных границах, когда известны теоретические характеристики этой случайной величины, является одной из основных практических задач исчисления вероятностей, относящихся' к случайным величинам. Другой основной задачей является установление по заданным характеристикам одних случайных величин характеристик других случайных величин, связанных определенным образом с первыми.

Кроме того, по отношению к распределению нескольких величин трансформация исходных распределений вызывается часто отбором из полученных при испытании случайных значений, относящихся к нескольким различным случайным величинам, тех, которые при каждом отдельном испытании (например, выборке) оказались наибольшими (или, наоборот, наименьшими). Типичными техническими задачами подобного рода являются задачи на определение погрешностей механизмов с пассивными связями (например, погрешностей от торцового биения, погрешностей зубчатых колес на участках перекрытия, погрешностей многоходовых червячных зацеплений и т. п.).

Иногда на графиках, изображающих линии регрессии, полезно нанести пунктиром по две, в каждой точке одинаково от них отстоящие вверх и вниз, линии условных средних квадратических отклонений. При постоянстве условных средних квадратических отклонений линии, их изображающие, конгруентны линиям регрессий (получаются путем вертикального сдвига линии регрессии F по х на величину a\Ylx] = const и горизонтального сдвига линии регрессии X по у на величину а {Х/у} =, const). В последнем случае линии условных средних квадратических отклонений обычно на график не наносятся. Линии условных средних квадратических отклонений характеризуют форму -скедастической зависимости. Как и в случае одномерных случайных величин, обобщением числовых характеристик являются моментные характеристики. Кроме рассмотренных в п. 2.7 моментов, относящихся к одной случайной величине, существенное значение для теории вероятностных зависимостей между величинами имеют смешанные моменты, относящиеся к случайным величинам, связанным вероятностной зависимостью.

суммы S и Q, а значит и их линейные функции (S sin a, Q sin а, S cos а, Q cos а), распределены по закону Гаусса. Величины S и Q, а значит и X и Y, являются здесь центрированными (а. = = aq ~ ах = ау = 0). В данном случае поворотом осей координат на угол а можно перейти от зависимых случайных величин X и Y к независимым случайным величинам S и Q. Если величины X, Y, S и Q не центрированы, то до поворота осей делается еще перенос начала координат в точку (ах, ау].

Линейность корреляционной зависимости (прямые линии регрессии) и ее нормальность сохраняются (но при других значениях a, R и т. д., а иногда и при другом знаке R), если от случайных величин X и' Y, связанных линейной корреляционной зависимостью [т, е. образованных, например, по схемам сумм (5,62), (5.65) и (5.66)], перейти к двум другим случайным величинам U к V, связанным с первыми линейными функциональными зависимостями

Количественная оценка влияния исходных факторов на погрешность упругой деформации производилась на основании того же вероятностного ряда для Y2 для процесса в целом по критерию rfa/x. (5-74) применительно к дискретным случайным величинам [см. формулу (5.72)].

С учетом этих замечаний рассматриваемую задачу можно записать следующим образом. Имеется линейная по отношению к случайным величинам функция многих переменных (выражение расчетных затрат)

Случайные и детерминированные величины. Случайной называют величину которая в результате испытания может принять одно из возможных значений, заранее неизвестное (например, время безотказной работы машины). Случайным величинам противопоставляются величины детерминированные, значение которых предопределяется начальными условиями. Например, ускорение, получаемое телом при действии известной силы, можно рассматривать как определенную, детерминированную величину.

Рассматриваемые методы' основаны на изучении закономерностей, свойственных случайным величинам при большом числе повторений подобных условий испытания.

Случайным величинам противопоставляют величины детерминированные, значение которых предопределяется начальными условиями. Например, ускорение, получаемое телом при действии известной силы, является определенной, детерминированной величиной.