Смешанных коэффициентов

iioi'i области являются решения, полученные при граничных условиях первого и второго рода или при смешанных граничных условиях. При комбинированных граничных условиях, когда на одной стороне пластины (рис. 4-15) поддерживается постоянный тепловой поток, а на другой — постоянная температура поверхности, для центра пластины при ре-0,3) получена зависимость, при-

В заключение отметим, что постановка смешанных граничных условий, при которых на одной части границы заданы напряжения, а на другой — перемещения, также может быть сведена к заданию на границе действительных частей комбинаций комплексных потенциалов.

тела — перемещения точек поверхности. Примером такого задания могут служить граничные условия для балки, показанной на рис. 9.3. Здесь часть поверхности балки прикреплена (приклеена) к абсолютно жесткому телу и, следовательно, перемещения всех точек этой части поверхности тела равны нулю, а на остальной части поверхности заданы поверхностные силы; на верхней грани нормальная их составляющая имеет интенсивность q, а касательные составляющие равны нулю, на других же гранях —все составляющие поверхностной силы равны нулю. Существует и другая форма задания смешанных граничных условий, в которой на одной и той же части поверхности или на всей поверхности тела заданы

Прямая задача при статических граничных условиях в литературе (в терминологии Н. И. Мусхелишвили) называется первой основной задачей теории упругости. Прямая задача при кинематических граничных условиях в той же терминологии называется второй основной задачей теории упругости. Наконец, прямая задача при смешанных граничных условиях называется смешанной задачей теории упругости.

Проще всего удовлетворить граничным условиям в случае статической их формы, так как в эти условия входят непосредственно искомые функции. В случае же задания граничных условий в кинематической форме приходится, используя уравнения (9.3) и (9.5), выражать перемещения через напряжения, что значительно осложняет решение. Аналогичное осложнение получается и в случае смешанных граничных условий.

Пусть вырожденной системой является вязкоупругая пластинка, лежащая на некотором основании. Очевидно, что в этом случае верхняя и нижняя границы пластинки находятся при различных граничных условиях: на верхней границе задаются, как и ранее, только величины напряжений, а нижняя граница может находиться при различных смешанных граничных условиях.

Для оценки величины термического сопротивления стягивания рассмотрим идеализированную модель единичного контакта (при отсутствии окисной пленки), принимая его схему в виде элементарной пары полуограниченных цилиндров. Определение термического сопротивления контакта такой системы с одним пятном касания сводится к отысканию трехмерного поля температур контактирующих цилиндров. Однако точное аналитическое решение этой задачи из-за смешанных граничных условий практически не реализуется. Указанная модель в значительной степени упростится, если представить, что полуограниченные цилиндры с коэффициентом теплопроводности А, идеально контактируют, как это показано на рис. 1-6, со сферой радиусом а из металла с коэффициентом теплопроводности Я—> со. В данном случае изотермы образуют эквипотенциальные поверхности в виде концентрических полусфер. Если пренебречь проводимостью клеевого слоя, то 'термическое сопротивление dR'c-f между полусферами с радиусами г и r + dr может быть выражено [Л. 13] следующим образом:

В случае смешанных граничных условий задаются либо компоненты векторов {Ф3}, либо компоненты {^t}-

В случае смешанных граничных условий задаются либо компоненты векторов {Ф3}, либо компоненты {^t}-

При задании смешанных граничных условий используется либо нормальная У, либо касательная V* к поверхности S составляющая вектора скорости. В первом случае используется заданное значение Vp по нормали п к поверхности 5,v, которое должна принимать проекция вектора скорости V движения среды на направление этой нормали

При задании смешанных граничных условий используется либо нормальная р", либо касательная т" к поверхности S составляющая полного поверхностного напряжения. В первом случае на поверхности Spv или S^ статические граничные условия задаются в виде (1 .3.1 5)

Статическая часть смешанных граничных условий (1.3.52) и (1.3.53), представленных в табл. 6 и 7, также записывается через тензор функций напряжений Тф:

При отсутствии смешанных коэффициентов [В ] определение напряжений и деформаций слоя значительно упрощается. Равенство (7) может быть записано в сокращенной форме

Равномерное распределение деформаций по толщине материала обусловлено отсутствием смешанных коэффициентов В и внешних изгибающих моментов. Имеем ех = 0,0035, еу = 0,0031,

В — матрица смешанных коэффициентов щесткости; В — матрица жесткости;

результаты были получены только для случая действия равномерно распределенного нормального давления. Было показано, что смешанные коэффициенты жесткости (матрица [Btj]) практически на влияют на результат для пластины, края которой свободно смещаются в срединной плоскости. Однако в случае краев, закрепленных от таких смещений, максимальный прогиб увеличивается примерно на '40%, а максимальные нормальные напряжения — примерно на 60% (рассматривался материал с отношением ETIEL = 0,2, что соответствует однонаправленному эпоксидному стеклопластику). В отдельных случаях из-за наличия смешанных коэффициентов жесткости напряжения в срединной плоскости превышали напряжения на наружных поверхностях пластины.

Задача изгиба шарнирно опертой прямоугольной пластины, нагруженной произвольным нормальным давлением, решалась в двойных рядах Фурье в работах Уитни [179], Уитни и Лейсса [185, 186]. Получено точное решение для давления, распределенного равномерно и по одной волне синусоиды. Численные результаты, приведенные для ортогонально- и перекрестно-армированных стекло- и углепластиков, показали, что учет смешанных коэффициентов жесткости приводит к значительному (до 300%) увеличению максимального прогиба пластины. Были построены также графики, иллюстрирующие влияние удлинения пластины [179—182] и отношения Ец/Е22 [186] на максимальный прогиб. Позднее Уитни [183] рассмотрел защемленные прямоугольные пластины, нагруженные равномерным нормальным давлением, и получил результаты, подтверждающие сделанные ранее выводы. В частности, им было установлено, что учет смешанных коэффициентов жесткости приводит к значительному уменьшению изгиб-ной жесткости несимметричных по толщине пластин и выявлено существенное влияние характера закрепления пластины в своей плоскости на деформированное состояние при некоторых перекрестных схемах армирования.

Эффект закручивания пластины при растяжении, связанный с наличием смешанных коэффициентов жесткости с индексами 16 и 26, изучался Ставски [144]. Ван [176] показал, что для анизотропной пластины (например, перекрестно-армированной) невозможно построить одночленное решение с разделяющимися переменными (т. е. в виде произведения функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у), точно удовлетворяющее условиям шарнирного опирания.

Поскольку наличие смешанных коэффициентов жесткости вызывает, как уже отмечалось в разделе IV, В, уменьшение изгибной жесткости пластин с несимметричной схемой расположения слоев, , нагруженных нормальным давлением, есть основание ожидать для таких пластин и соответствующее снижение критических нагрузок. Анализ такого рода был впервые -проведен на основе теории Рейсснера — Ставски [121 ] в работе Браутмана и др. [37 ], где была рассмотрена двухслойная прямоугольная пластина. При этом было установлено, что эффект связанности плоского и изгибного состояний оказывает очень малое влияние на критическую нагрузку.

Все перечисленные теории применяются или могут быть применены к расчету оболочек из композиционных материалов. Однако из-за дополнительных трудностей, связанных с учетом анизотропии материала и наличием смешанных коэффициентов жесткости, предпочтение, как правило, отдается более простым теориям. Например, для сосудов давления, изготовленных из волокнистых материалов методом намотки, был разработан упрощенный вариант безмоментной теории, названный сетчатым анализом. Эта теория основана на упрощенной модели композиционного материала, согласно которой считается, что нагрузка воспринимается только волокнами, а жесткость связующего не учитывается [315].

По-видимому, первые исследования, учитывающие влияние несимметричности структуры пакета (при сохранении смешанных коэффициентов жесткости)., на устойчивость оболочек двойной кривизны, были выполнены МакЭлманом и Кноеллом [185] и Ойлером и Димом [2101, которые рассмотрели в рамках теории пологих оболочек осесимметричное нагружение цилиндрических, бочкообразных^ гиперболических и сферических оболочек.

Динамический анализ оболочек с общим характером анизотропии (т. е. оболочек из ортотропного ориентированного произвольным образом материала) был впервые'проведен Кунуккассе-рилом [160], который показал, что обычные формы колебаний, узловые линии которых образуют прямоугольную сетку, не могут быть решениями уравнений движения. Причиной этого является наличие в соотношениях упругости смешанных коэффициентов с индексами 16 и 26. Представив решение в форме спиральной волны, Кунуккассерил изучил распространение волн, связанных с тремя основными формами колебаний — радиальной, осевой и крутильной. Для оболочек конечной длины было рассмотрено только два §ида колебаний — осесимметричные (получено точное решение) и чисто изгибные (приближенное решение методом Релея).

Образование квази-сдвиговой волны вызвано наличием в физических соотношениях смешанных коэффициентов ' жесткости, связывающих нормальное напряжение tnn с деформацией сдвига ens,- т. е. в координатах ж„, xs при х„ = 0 имеем

Автор, используя подход Цая — By, определял тип разрушения и слой, в котором оно произошло, таким же образом, как и при помощи критерия Хилла. Необходимость определения смешанных коэффициентов типа Р12 является наиболее неприятной особенностью рассмотренного критерия.