Собственными частотами

') А. Вайнштейн (A. Weinstein) — американский математик. Дальнейшее развитие и обоснование метода было выполнено в трудах его соотечественников Н. Ароншайна, Н. Безли и др. Позднее вышла книга С. Гулда, специально посвященная этому методу (Variatiorial Methods for eigenvalue problems. An Introduction to the Weinstein Method of intermediate Problems by S. H. Gould. — 2-nd ed. revised and enlarged. — University of Toronto Press, 1966), со второго издания которой был сделан и издан русский перевод: Г у л д С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. Введение в метод промежуточных задач Вайнштейна/Пер. с англ. Б. В. Федосова/Под ред. В. Б. Лидского. — М.: Мир, 1970.

') Доказательство этих положений можно найти в книгах: М и х-лин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970; Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях.— М.: Мир, 1970; Ко л лат ц Л. Задачи на собственные значения. — М.: Наука, 1968.

179. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений.— ДАН СССР! 1951, т. 77, № 1. '

Предположение о нерастяжимости витка оправдано практикой, так как модуль упругости армирующих наматываемых волокон неизмеримо больше модуля упругости связующего. В этом случае отыскание критической угловой скорости ю = ы0, при которой наступает резонанс, сводится к задаче о собственных значениях следующей однородной краевой задачи

МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОЙ РЕДУКЦИИ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ

Математическая формулировка задачи о собственных значениях сводится к необходимости решать уравнение [1]

2.Фрид. Конденсация в задачах значениях матриц конструкции: о собственных значениях, решав-исключение лишних переменных методом конечных элемен- ных.— РТиК, 1970, 8, № 7. тов.— РТиК, 1972, 5, № 11.

МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОЙ РЕДУКЦИИ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ................ 139

Методы автоматической редукции матриц в задачах о собственных значениях.

Таким образом, задача определения собственного спектра {kr}, (Тгг}, г=*1, . . ., га, цепной модели (14.2) сводится к решению алгебраической задачи о собственных значениях и векторах симметричной динамической матрицы А с вещественными элементами.

Проблема собственных спектров модели (16.4) эффективно решается методами, изложенными в § 14, на основе дихотомического алгоритма (14.10), (14.11) и вычислительных схем (14.44), (14.45). При найденных собственных значениях Я„ s = 1, ..., и, и модальной (пХ п)-матрице H — {his} эквивалентной модели (16.4) последнюю можно записать следующим образом:

Числа (о/ называются собственными частотами изучаемой консервативной системы. Буквами Сг и <р; в выражении (52) обозначены произвольные постоянные, которые обычным образом определяются через начальные условия.

Отсюда сразу следует, что функции <7;- (t) для всех /, вообще говоря , получаются суперпозицией п гармонических колебаний с собственными частотами со/.

Механические колебания, при которых все обобщенные координаты совершают синфазные или антифаэные колебания с собственными частотами.

Затем надо проанализировать, с какими собственными частотами с% может колебаться система. Вообще говоря, реальная система обладает не одной собственной частотой, а несколькими или даже бесконечным числом и ее при малых отклонениях не всегда можно представить в виде одного линейного осциллятора. Может случиться, что при малых отклонениях система ведет себя как совокупность линейных осцилляторов с различными собственными частотами. Каждый из них под действием соответствующих гармонических составляющих силы может начать резонансные колебания. Например, мост может совершать вертикальные колебания, горизонтальные смещения поперек своей длины, колебания вдоль своей длины и т. д. Собственные частоты колебаний различны и у каждого вида колебаний имеется не одна собственная частота. Все собственные частоты надо принять во внимание при анализе действия внешней периодической силы. Конструкторская работа частично состоит в том, чтобы избежать резонансного действия внешних сил на систему. Не менее важной задачей в других случаях является обеспечение резонансного воздействия внешних сил на систему. Например, в радиотехнике при приеме радиосигналов необходимо добиться их резонансного воздействия на колебательные контуры радиоприемника. В обоих случаях задача сводится к исследованию вынужденных колебаний линейного осциллятора под действием внешней периодической силы.

Роль акустического резонатора может играть всякий объем воздуха, ограниченный стенками и обладающий поэтому собственными частотами колебаний, например кусок трубы конечной длины. Однако такой кусок трубы обладает множеством нормальных колебаний и поэтому будет резонировать на множество гармонических колебаний. Удобнее, конечно, применять такие резонаторы, которые отзываются на одну определенную частоту внешнего гармонического воздействия. Такими свойствами обладают, например, сосуды шаровой формы с горлом (рис. 468) — так называемые резонаторы Гельмгольца.

Изменяя размеры сосуда и горла, можно получить резонаторы с собственными частотами, охватывающими весь диапазон звуковых частот.

Некоторые кристаллы (кварц, турмалин, сегнетова соль и др.) дают пьезоэлектрический эффект: под действием упругой деформации на поверхности кристалла появляются электрические заряды (прямой пьезоэффект); и наоборот, под действием электрического поля они испытывают упругие деформации — сжимаются или растягиваются в зависимости от направления поля (обратный пьезоэффект). Поэтому, если пластинку, вырезанную из пьезоэлектрического кристалла, поместить между обкладками конденсатора, к которому подводится переменное электрическое напряжение, то в пластинке будут возникать переменные упругие деформации, т. е. будут происходить вынужденные механические колебания. Но сама пластинка, как и всякое упругое тело, обладает собственными частотами колебаний, зависящими от

Упругие свойства пьезоэлектрических кристаллов таковы, что из них можно делать пластинки, обладающие очень высокими собственными частотами колебаний — вплоть до десятков мегагерц. Например, в кварцевой пластинке могут возникать продольные упругие волны в направлении ее толщины. Так как поверхности пластинки свободны, на них должны получаться пучности скоростей и узлы деформаций и на толщине пластинки должно укладываться целое число полуволн. Поэтому частота основного тона этих колебаний / определится из условия, что на толщине пластинки уложится одна полуволна (рис. 474). Следовательно, длина упругой волны в пластинке Aft = Id, a так как Aft = c/f, где с — скорость распространения упругих волн в кварце, то

нич. собственные колебания линейной системы с пост, параметрами, в к-рой отсутствуют как потери энергии, так и приток её извне. Каждое Н.к. характеризуется определ. значением частоты, с к-рой колеблются все элементы системы, и формой -распределением амплитуд и фаз. Число Н.к. для данной системы равно числу её колебательных степеней свободы, а частоты определяются параметрами системы и наз. нормальными или собственными частотами.

собственные колебания, к-рые могли бы существовать в линейной колебат. системе, если бы в ней не происходило рассеяния энергии. Число Н. к. для данной системы равно числу её колебат. степеней свободы, а их частоты определяются параметрами системы и наз. её нормальными, или собственными, частотами.

Такого рода аппроксимация вполне справедлива, если речь идет об инфразвуковых частотах и низких частотах звукового диапазона. Если же рассматривать более высокочастотную часть, то упругие прокладки, представляя собой колебательные системы с распределенными параметрами, будут иметь целые ряды форм собственных колебаний с собственными частотами.