Собственными колебаниями

по координате ф функции V (0, ф) периодические (период 2л), являются собственными функциями для рассматриваемой задачи, FM соответствуют собственные значения comn (т, п = О, 1, 2, ...). Решение уравнения (4.5.16) представим в виде

их можно определить с точностью до произвольного множителя; тем самым можно определить кривую, аффинную действительной кривой выпучивания стержня; величины же прогиба остаются неопределенными (известно лишь, что они малы). Те значения числа 2», которые получаются как корни уравнения устойчивости, обеспечивают ненулевые решения для С\, ..., С4 и являются собственными числами рассматриваемой краевой задачи, а функции и, получаемые в результате подстановки в и найденных (с точностью до С4) значений постоянных С\, ..., Сз, отвечающих собственным числам 2в, являются собственными функциями. Каждому собственному числу соответствует своя собственная функция. Минимальное из собственных чисел определяет величину критической силы, а соответствующая этому числу собственная функция определяет форму потери устойчивости.

Деформации стержня при потере устойчивости описываются собственными функциями, соответствующими п = 1 (с точностью до масштаба)1.

где рп — собственные значения внешнего давления, при которых у оболочки существуют изгибные формы равновесия, смежные с исходной круговой формой равновесия. Функции (6.47) будут собственными функциями, соответствующими этим собственным значениям рп.

52. Бобровницкий Ю. И. О колебаниях некоторых механических систем с неортогональными собственными функциями.— В кн.: Акустическая динамика машин и конструкций.— М.: Наука, 1973.

О КОЛЕБАНИЯХ НЕКОТОРЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕОРТОГОНАЛЬНЫМИ СОБСТВЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Математическая особенность задач с неортогональными собственными функциями состоит в том, что параметр К, имеющий физический смысл частоты или постоянной распространения, входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов, а также содержится в выражениях для граничных условий. Такого типа краевые задачи называются обобщенными [4]. Наиболее глубокие результаты в этой области получены в работе Келдыша [5]. В ней исследованы вопросы полноты и ортогональность собственных функций дифференциальных уравнений, содержащих параметр К в виде полинома степени п с граничными условиями, не содержащими этого параметра.

Ю. И. Бобровницкий. О колебаниях некоторых механических систем с неортогональными собственными функциями........................ &

О колебаниях некоторых механических систем с неортогональными собственными функциями.

Решение получается в виде рядов по собственным функциям соответствующих краевых задач. Мы приведем здесь решение для простейшего случая со= 1 (стержневое течение) . В этом случае собственными функциями задачи являются функции Бесселя. Для условия ^ст = const решение имеет вид {33]

В частных случаях задачи, когда тело имеет простую в геометрическом смысле форму, было найдено, что уравнение, выражающее граничные условия (1.30) или (1.31), имеет бесчисленное множество корней и дает ряд возрастающих значений для чисел nij, представляющих дискретную совокупность чисел; построенная же при помощи формулы (1.29) функция ft является общим интегралом уравнения Фурье. Уравнение (1.28) называют характеристическим, а функции Uj, являющиеся частными решениями уравнения (1.23),— характеристическими или собственными функциями задачи. Они соответствуют совершенно определенным дискретным значениям параметра т.

Спусковой регулятор состоит из хода (спуска) и регулятора колебаний. Ход (спуск) представляет собой сочетание ходового (спускового) колеса, жестко связанного с осью, скорость вращения которой регулируется, и анкера — колеблющейся детали, предназначенной для останова и пуска ходового колеса. Регулятор колебаний обеспечивает заданную периодичность и одинаковую длительность остановок ходового колеса. Если скорость ходового колеса должна быть точно выдержана в течение длительного промежутка времени, анкер нужно соединить с регулятором колебаний типа осциллятора 1. В этом случае частота колебаний анкера определяется частотой собственных колебаний указанного осциллятора, а регулятор называется спусковым регулятором с собственными колебаниями. При меньших требованиях к точности регулирования можно обойтись регулятором колебаний, не являющимся осциллятором. В этом случае частота колебаний анкера зависит от величины момента инерции анкерной системы, а регулятор носит название спускового регулятора без собственных колебаний.

Спусковые регуляторы с собственными колебаниями. Регулятор колебаний может

Спусковые регуляторы с собственными колебаниями применяются в различных приборах с продолжительностью работы при одной заводке до нескольких суток.

Коэффициент неравномерности хода регуляторов без собственных колебаний б = 0,21-=-0,28, а регуляторов с собственными колебаниями и несвободным ходом б ~ 0,7-10~3, со свободным ходом 6 » 0,3-ЮЛ

Рассмотрим теперь консервативную систему. Пусть %, со2, ... ..., со„ —ее собственные частоты (см. § 6 этой главы). Собственными колебаниями системы служат гармонические колебания с этими частотами, а это означает, что все корни характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые и что они равны

Определение. Собственными называются колебания системы под действием лишь внутренних сил без внешних воздействий. Рассмотренные в предыдущем параграфе гармонические колебания являются собственными колебаниями линейного осциллятора. В принципе собственные колебания могут быть и негармоническими. Но при достаточно малых отклонениях от положения равновесия в очень многих практически важных случаях они, как это было разобрано выше, сводятся к гармоническим.

того, что d(x2,/'dt=2xx. Поэтому можно сказать, что если полная сохраняющаяся энергия системы выражается в виде квадратичной функции от некоторой переменной и ее производной по времени, то собственными колебаниями этой системы являются гармонические колебания.

Спусковые регуляторы скорости в зависимости от принципа действия специального устройства, осуществляющего периодические остановки и пуски механизма, могут быть а) с собственными колебаниями; б) без собственных колебаний.

Различают спусковые регуляторы двух типов: а) регуляторы с собственными колебаниями, обеспечивающие высокую точность поддержания заданной частоты вращения (точнее, чем тормозные регуляторы); б) регуляторы без собственных колебаний — более простые, но менее точные.

Спусковые регуляторы с собственными колебаниями широко применяются в современных приборах: часах всех типов, точных самопишущих приборах, реле, счетчиках, тахометрах и различных автоматических устройствах.

Отсюда видно, что при <а<сок (докритический, или дорезонанс-ный, режим) у>0, а при со>-Шк (закритический, или зарезонанс-ный, режим) г/<0, т. е. в закритическом режиме прогиб у получается отрицательным или, что то же, сдвиг фаз между колебаниями возмущающей силы и собственными колебаниями равен я. В закритическом режиме прогиб у уменьшается с увеличением угловой скорости со и при со-э-оо стремится к смещению е. Центробежная сила инерции в закритическом режиме определяется соотношением