Собственным значением

Главные оси прочности определяются уравнением (87). Так как главные оси, соответствующие различным собственным значениям Ял, fa, Яе, ортогональны, можно заключить, что любой композит, поверхность прочности которого описывается квадратным уравнением (83), можно назвать ортотропным в отношении прочностных свойств. Подчеркнем, что главные оси прочности не обязательно совпадают с главными осями тензора напряже4-ний (это схематически изображено на рис. 9).

соответствуют разветвлению форм равновесия. Спектр собственных значений и соответствующих ему собственных функций имеет ряд особенностей: все собственные значения положительны; собственным значениям соответствуют ортогональные, в пределах исследуемой области, собственные функции, каждая из которых представляет собой форму равновесия (устойчивую или неустойчивую).

Корни полученного характеристического уравнения приводят к собственным значениям параметра k, связанного с внешним усилием д. Для определения критической нагрузки необходимо вычислить наименьшее собственное значение параметра k, поэтому для каждого п достаточно найти первый корень уравнения (4.54). Так, для п — 0 находим (&RK = 3,832; для п = 1 — первый корень (kR)i = 5, 135 и т. д. Следовательно, для сплошной пластины с защемленным наружным контуром наименьшее собственное значение qt дает первый корень уравнения (4.54) при п = 0, т. е.

Причем, собственные функции, соответствующие этим собственным значениям нагрузки, равны:

где рп — собственные значения внешнего давления, при которых у оболочки существуют изгибные формы равновесия, смежные с исходной круговой формой равновесия. Функции (6.47) будут собственными функциями, соответствующими этим собственным значениям рп.

Равенство нулю определителя этой системы приводит к собственным значениям нагрузки

Свойство обобщенной ортогональности собственных функций состоит в том, что для любых двух собственных функций yt (x) и уц (х), соответствующих двум различным собственным значениям PI и Р/,, выполняются условия

Из (3) видно, что устойчивость экипажа от сползания при случайной ошибке в силах предварительного поджатия ног можно определить, исследовав сходимость степенного матричного ряда (А"1С)п по собственным значениям матрицы А~гС, все элементы которой зависят только от используемой походки.

Для составных моделей вида (13.10) полуопределенных динамических систем машинных агрегатов обычно характерно наличие в матрице И нулевого двукратного элемента, соответствующего низшим собственным значениям локальных динамических подсистем. В этом случае матрицу Q следует формировать так, чтобы нулевые элементы занимали в ней крайние позиции на главной диагонали, т. е.

Остальные собственные формы расчетной Т- модели с юг кратности % определяются по формулам (14.44) — (14.46). При наличии в матрице Q нескольких кратных элементов собственные формы, отвечающие порождаемым этими элементами собственным значениям расчетной модели, определяются для каждого из этих значений по схеме (14.48).

При анализе составных моделей вида (13.13) полуопределенных динамических систем машинных агрегатов обычно оперируют с матрицей Q, имеющей нулевой трехкратный элемент, соответствующий низшим собственным значениям полуопределенных локальных моделей подсистем. В этом случае целесообразно индексацию координат расчетной модели (13.13) выполнить таким образом, чтобы в матрице Q крайние позиции на главной диагонали были заняты нулевыми элементами (см. (14.41)). Тогда, как показывает анализ, нули полиномов (14.50) строго разделяются, и последовательность этих полиномов обладает свойством Штурма. Следовательно, при указанной структуре матрицы Q собственные значения эквивалентной модели вида (13.13) с тремя нулевыми значениями в совокупности {vi? l{, л;) можно определять по дихотомической схеме (14.10), (14.11), не прибегая к модификациям расчетной модели. Собственные формы рассматриваемой составной системы, отвечающие исходным обобщенным координатам подсистем, определяются по формулам вида (14.45) с учетом трех подсистем.

Полученное выражение (20.16) позволяет установить важное положение; если система дифференциальных уравнений (16.21) имеет предельное решение, то это решение будет периодическим, и оно является предельным циклом, так как в этом случае ± 1 не является собственным значением матрицы Н, а следовательно, det (Н ± 1) =/= 0.

Отсюда следует, что при Cd = 0 &d является собственным значением модели (13.10). Остальные собственные значения этой модели можно определить, рассматривая усеченную эквивалентную' Tq—i~ моде ль:

ственных форм, Jj — коэффициент инерции /-и сосредоточенной массы расчетной модели. Если в модели (13.10) c
Остальные собственные формы расчетной модели определяются по формулам (14.44)—(14.46). Если в матрице Q модели (13.10) имеется элемент иг кратности х ^ q, то, как показано выше, Аг = юг является собственным значением кратности % — 1 этой модели. Соответствующие этому собственному значению ортогональные собственные формы можно построить следующим образом [28J:

Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические числа. Уравнение (2.38) имеет п корней Klt А,2, . . ., Кп, причем в общем случае среди К{ могут быть и одинаковые, если (2.38) имеет кратные корни. Если Ki является простым корнем характеристического уравнения (2.38), то оно называется простым собственным значением. В противном случае Я,,- называется кратным собственным значением матрицы А.

Если коэфициенты диференциального уравнения имеют особую точку на границе интервала (а, Ь) или в случае, когда краевая задача формулируется для бесконечного интервала, может существовать непрерывное распределение собственных значений (линейный спектр), когда любое значение параметра X, в некотором непрерывном интервале его изменения, является собственным значением рассматриваемой краевой задачи.

при фиксированном значении X имеет единственное решение для всякой заданной правой части, а соответствующее однородное уравнение не имеет нетривиального решения, либо значение X = X* является собственным значением, т. е. при X = X* существуют нетривиальные решения однородного уравнения; пусть число их равно /. В последнем случае соответствующая тому же значению X* неоднородная краевая задача может быть разрешена, если правая часть уравнения <р (л:) удовлетворяет условиям ортогональности:

Параметр aft является собственным значением и функция fk(r) — собственной функцией оператора $1. В общем случае уравнение (1.63) может иметь как действительные собственные функции и собственные значения, так и комплексно-сопряженные. Кроме того, оператор $1 может иметь наряду с точечным спектром непрерывный континуум собственных значений а и соответствующие сингулярные собственные функции /а(г) (см. § П. 2.2).

где Я — некоторый скаляр, называемый собственным значением оператора А, соответствующим собственному вектору В.

Число Я называется собственным значением матрицы Л, соответствующим собственному вектору х.

Если К — собственное значение матрицы Л, то для матрицы аЛт(аеС', т>1 — натуральное число) собственным значением является число сЛ™. Следовательно, для полинома Р(А) от матрицы Л собственным значением является число Р(К).