Совершать колебания

т. е. система будет совершать гармонические; колебания,., период;«о-,, торых равен

также будет изменяться по гармоническому закону — груз будет совершать гармонические колебания около положения х' — О или х — P/k. По аналогии с маятником (§69) мы можем определить и период колебаний груза (10.14). Вместо отношения g/l, которое входило в уравнение маятника, в уравнение колебаний груза входит отношение klm. Поэтому период колебаний груза

Представление о гармонических колебаниях и о сдвиге фаз между ними может дать следующая модель. На горизонтальном диске, вращающемся с постоянной скоростью, укреплены на ножках два шарика, положение которых на круге можно изменять (рис. 378). Если проецировать шарики на экран, то те-• ни шариков на экране будут совершать гармонические движения. Действительно, координата проекции шарика на экране (рис. 379, а) х — R cos a = R cos at, где со • — угловая скорость вращения круга, /? определяет амплитуду колебаний тени на экране, а ш — частоту этих колебаний. Когда шарики стоят на одном радиусе (рис. 379, б), но на разных расстояниях от оси, их тени совершают колебания, совпадающие по фазе, но разной амплитуды. Когда шарики расположены на двух радиусах, образующих угол ф (рис. 379, в), то их тени совершают колебания, сдвинутые по фазе на угол ф. Очевидно, что тени шариков на экране движутся с одинаковыми частотами и с постоянным сдвигом фаз. Два гармонических колебания, происходящие с одинаковой частотой и с постоянным сдвигом фаз, называются когерентными. Далее мы встре-

Начнем с простейшего случая, когда все четыре пружины одинаковы. Если мы сместим шарик массы т в направлении х на величину Х0, а затем освободим его, не сообщив никакой начальной скорости, то он будет совершать гармонические колебания по закону

Частота и зависит от массы шарика и упругости пружин. При смещении в направлении у шарик будет совершать гармонические колебания с той же частотой (так как пружины одинаковы) по закону

расположенные под одинаковым углом пружины /Сг и К3, но и пружина К"2. Силы, действующие на каждую массу, будут не такие, как в первом случае, но для обеих масс они опять одинаковы. Поэтому и ускорения будут одинаковы; массы будут двигаться так, что не только вначале, но и в любой момент их отклонения равны по величине и противоположны по знаку. Обе массы будут совершать гармонические колебания одной и той же частоты, но противоположные по фазе.

При нелинейных граничных условиях, как и ранее, нельзя воспользоваться известными решениями, существующими для аналогичных задач, имеющих однородные или неоднородные граничные условия. Однако, опираясь на физические соображения, попытаемся использовать метод разделения переменных или, что то же, будем предполагать, что балка, имеющая внутреннее трение и при наличии нелинейных граничных условий в первом приближении, будет совершать гармонические колебания с частотой возмущающей силы

При установке системы с натягом обе массы, будучи выведены из положения равновесия, могут колебаться совместно. При этом движение системы в целом будет удовлетворять обычному линейному дифференциальному уравнению; она будет совершать гармонические колебания с частотой

§ 9.2. Свободные колебания с соударениями. Мы сейчас видели, что при наличии натяга двухмассовая система в результате начального возмущения может совершать гармонические колебания при условии, если амплитуда возмущения будет меньше некоторой величины, которую легко определить из равенства (9.6). Если же величина возмущения превысит предельное значение или если система установлена с зазором, то ее движение будет сопровождаться разрывами и соударениями. Поскольку в реальной системе соударения всегда сопровождаются рассеянием энергии, виброударное движение спустя некоторое время вновь

т. е. рамка будет совершать гармонические колебания. Но гармонические колебания совершает и кулиса в механизме, изображенном на рис. 348, б, представляющем кривошипный механизм с бесконечно длинным шатуном. Поэтому при г — е движение кулисы К в этом механизме будет тождественным с движением рамки на рис. 348, а. Поступательный кулачок. В некоторых машинах встречаются кулачки в виде пластин с криволинейным очертанием, движущиеся возвратно-поступательно от эксцентрика е (см. рис. 349, где эксцентрик изображен в виде кривошипа ОС). Такие кулачки называются поступательными.

стейших систем, коэффициенты динамической жесткое.™ которых известны. При возбуждении каждой из систем гармоническим усилием, действующим в направлении отброшенной связи, каждая из элементарных систем будет совершать гармонические колебания в направлении этого усилия, причем отношение амплитуды усилия к амплитуде переме- фиг- 33- Разветвлен-щения будет равно ная СИС1ема-

На рис. 71 приведена схема одного из наиболее простых балансировочных станков (рамная балансировочная машина). Основной частью станка является рама АОВ, которая может совершать колебания вокруг оси О. Восстанавливающий момент при колебаниях рамы создается пружиной С, коэффициент жесткости которой обозначим через с. Размах колебаний некоторой точки Е рамы фиксируется пишущим острием или стрелкой индикатора. Рама несет два подшипника А и В, в которые устанавливают вал балансируемого ротора. Принимая плоскости I и II за плоскости уравновешивания, располагаем ротор так, чтобы плоскость // проходила через ось вращения О. При таком расположении ротора дисбаланс Дц не оказывает влияния на движение рамы вместе с ротором, что дает возможность определить дисбаланс AI независимо от АЦ.

График зависимости Шг(ф) показан на рис. 1.17. Из него видно, что с ростом угла ф вектор, <в сначала увеличивается, совпадая по направлению с вектором Po(wz>0), достигает максимума при ф = я/2 и затем начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при «р=я. После этого тело подобным же образом начинает вращаться в противоположном направлении (o>z<0). В результате тело будет совершать колебания около положения ф = д/2 с амплитудой, равной я/2.

Рис. 7.11. Колебания всех реальных гармонических осцилляторов зату-хают под действием сил трения, таких, например, как сопротивление воздуха. Система из массы и пружины при небольшом затухании должна описываться такой же кривой, как и та, которая изображена на бумажной ленте, движущейся с постоянной скоростью. Эта система начала совершать колебания в момент времени f=0.

Предположим, что маятник начинает совершать колебания из состояния покоя, соответствующего начальному смещению 9о, где —я < 90 < я. Пренебрегая трением, можно ожидать, что движение маятника будет периодическим, но не просто гармоническим, так что при 9 = ±90 6 = 0. Однако если маятник приведен в движение достаточно сильным толчком, то он будет продолжать двигаться в одном направлении. Движение будет периодически по-аторяться, но 9 не будет обращаться в-О, и 6(0 будет продолжать увеличиваться. Эти соображения могут быть наглядно иллюстрированы, если мы проследим за движением маятника по фазовому графику, выражающему зависимость скорости фазы 9 от фазы 9 (рис. 7.24).

/ = 0 частица обладает некоторой скоростью 20^=0, хо=?0, то в последующем она будет удаляться от первоначального положения с этой скоростью, как средней. При этом частица будет совершать колебания. Таким образом, можно сказать, что электромагнитная волна не изменяет средней скорости движения частицы, но вызывает колебания скорости с частотой электромагнитной волны.

Уравнения малых колебаний стержней, осевая линия которых •есть плоская кривая. На рис. 3.7 показана спиральная пружина, осевая линия которой как в естественном (Т = 0), так и в нагруженном состоянии (Т^О) есть плоская кривая. Если пружину отклонить от состояния равновесия, она начнет совершать колебания. Если ее отклонить в плоскости чертежа, то малые колебания будут происходить в плоскости чертежа, если отклонить относительно плоскости, то возникнут малые пространственные колебания. Если пружина (упругий элемент прибора времени) находится на ускоренно движущемся объекте, ускорение которого имеет случайную составляющую Ла(/), то это приведет к появлению вынужденных случайных колебаний, в общем случае пространственных. Постоянная составляющая ускорения а0 нагружает стержень, т. е. в этом случае Qio=^=0, Q2o?=0 и уИзо^О.

Аналогичный опыт можно произвести, не измеряя непосредственно действующую на тело силу, а пользуясь заранее известной зависимостью между деформацией пружины и силой, с которой она действует на прикрепленное к ней тело. Возьмем, например, пружину, для которой сила пропор-циональна деформации, пока послед-няя не превосходит некоторого предела (предел пропорциональности), и подвесим к ней тело небольшой массы т (рис. 41). Под действием веса тела пружина несколько растянется и тело займет положение равновесия х = 0. Если оттянуть тело вниз на небольшое расстояние х0 от положения равновесия, а затем его отпустить, то оно будет совершать колебания в вертикальном направлении, причем расстояние х от положения равновесия будет изменяться по закону

Чтобы упростить рассмотрение и истолкование результатов опыта Фуко, мы положим, что опыт производится на одном из полюсов Земли. На основании результатов опыта Фуко, многократно повторявшегося на различных широтах, можно с полной достоверностью установить, как будет выглядеть опыт Фуко, например, на Северном (для определенности) полюсе. Будем рассматривать движение тела маятника, оттянутого нитью от вертикального положения. Если пережечь нить, маятник начнет совершать колебания — двигаться

Дальше тело начнет двигаться обратно с возрастающей скоростью; в положении х^ его скорость снова достигнет того же абсолютного значения I y( = xl yit/m. При дальнейшем движении скорость и вместе с тем кинетическая энергия упадут до нуля. Пусть это будет в положении Х3. Так как работа постоянной силы F и силы, действующей со стороны пружины, зависит только от начального и конечного положений тела, то работа по любому пути, пройденному туда и обратно, всегда равна нулю, и, значит, вся работа силы на пути от 0 до х2 и затем обратно от х2 до Х3 равна Fx3; поскольку Ts = 0, эта работа Fxs должна быть равна потенциальной энергии пружины U3 = = kx*/2, т. е. Fx3 = kx'fJ2. Решение 2F = kxs невозможно, так как при растяжении, меньшем *2, везде 2F >• kx. Остается одно решение Х3 = 0, т. е. тело вернется в начальное положение. После этого все движения будут повторяться: тело будет совершать колебания около положения х± = F/k в обе стороны на величину х±. При этом скорость тела будет изменяться в пределах от нуля (в крайних точках) до

Рассмотренную нами картину можно иллюстрировать при помощи следующего опыта. Если груз на пружине (рис. 83) подтянут ниткой так, чтобы пружина вначале не была растянута, а затем нитку пережечь, то груз будет совершать колебания около положения, соответствующего статическому растяжению пружины. Наибольшие

ния равновесия физический маятник будет совершать колебания с таким же периодом, как и математический маятник длиной /„, которая называется приведенной длиной данного физического маятника. Если к оси физического маятника подвесить «математический маятник», т. е. грузик т малых размеров на нити, и подобрать длину этой нити так, чтобы она была равна приведенной длине физического маятника (рис. 1976), то отклоненные на одинаковый угол оба маятника колеблются с одинаковым периодом, так что грузик все время находится в одной и той же точке физического маятника. Эта точка (лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения) называется центром качаний данного физического маятника.