Воспользуемся аппроксимацией

+ -^-Р2. Поэтому задача определения критических значений нагрузок стержня эквивалентна задаче устойчивости стержня, изображенного на рис. 1.21, б. Решение задач устойчивости такого типа рассмотрено в гл. 3. Для получения качественной картины заменим упругий стержень дискретной системой, состоящей из трех жестких звеньев, соединенных упругими шарнирами (рис. 1.22, а). Для решения этой задачи воспользуемся энергетическим методом, изложенным в предыдущем параграфе. Обозначив поперечные перемещения шарниров v± и уа, определим изменение полной потенциальной энергии системы при отклонениях от горизонтального положения:

Для вывода основных уравнений и граничных условий воспользуемся энергетическим критерием в форме Брайана (см. § 14).

Для определения частоты колебаний единичной лопатки переменного профиля воспользуемся энергетическим методом, который хотя и является приближенным, но дает более простое решение задачи, чем интегрирование общего дифференциального уравнения колебаний.

Вычисление частот собственных колебаний облопаченного диска переменного профиля. Для определения частоты воспользуемся энергетическим методом.

Рассмотрим далее случай комбинированного нагружения, когда на пластину в ее плоскости одновременно действуют несколько независимо изменяющихся внешних нагрузок. Например, на рис. 7.17, а показана свободно опертая по всему контуру пластина длиной а и шириной Ъ, равномерно сжатая в двух направлениях распределенными силами q1 и qz; начальные внутренние силы* при этом: 7\0 = — qlt Tzo = — qz, SQ = 0. Для решения снова воспользуемся энергетическим методом, взяв функцию прогиба в виде ряда (7.23). Подсчитаем с помощью выражения (7.29) изменение полной потенциальной энергии:

Для определения нагрузки ^нр воспользуемся энергетическим методом, причем решение построим приближенное, взяв бифуркационные перемещения

Для получения критерия устойчивости, отвечающего этому подходу, воспользуемся энергетическим методом, основанным на принципе возможных перемещений, и применим его к возмущенному состоянию равновесия упругого тела.

Для получения условий моделирования устойчивости конструкций при неравномерном нагреве воспользуемся энергетическим критерием устойчивости для изотермической деформации тела *:

Для объяснения полученного эффекта механического поведения воспользуемся энергетическим подходом механики разрушения [194]

Пусть в некоторой зоне QQ деформируемого тела П имеет место разупрочнение материала в процессе деформирования. Для оценки устойчивости закритической деформации, сопровождающейся равновесным ростом дефектов воспользуемся энергетическим подходом механики разрушения [194], приводящим к неравенству (7.8).

Для получения канонической системы воспользуемся энергетическим критерием Брайана (1.141), дополненного условиями связи

Аналогично приближенное решение может быть получено для стержня, находящегося под действием распределенной нагрузки q (s) = Pq (s), где Р — параметр нагрузки; ^"«Г^распределе-ние нагрузки при Р = 1. Снова воспользуемся аппроксимацией

Максимальный уровень колебаний в системе с малой диссипацией отвечает соотношению Q0 K k2/v. Воспользуемся аппроксимацией

Проиллюстрируем общую схему решения задач устойчивости с помощью МКЭ. Нагрузки будем считать «мертвыми», поэтому сразу воспользуемся условием (3.29). Будем считать, что начальное напряженно-деформированное состояние известно и все параметры, имеющие индекс «О», определены. В пределах элемента воспользуемся аппроксимацией дополнительных перемещений в виде

Реализация решений задач динамики с помощью МКЭ возможна на основе формулировки (3.34). Формальное отличие от рассматриваемого выше решения задачи статики [см. (3.941) состоит в определении приведенных инерционных нагрузок системы. Для этого отдельно рассмотрим лишь третье слагаемое в (3.34). Воспользуемся аппроксимацией перемещений в пределах элемента, такой же как (3.96), тогда, выполнив интегрирование в пределах отдельного элемента, получим *

Воспользуемся аппроксимацией

Проиллюстрируем общую схему решения задач устойчивости с помощью МКЭ. Нагрузки будем считать «мертвыми», поэтому сразу воспользуемся условием (3.29). Будем считать, что начальное напряженно-деформированное состояние известно и все параметры, имеющие индекс «О», определены. В пределах элемента воспользуемся аппроксимацией дополнительных перемещений в виде

Реализация решений задач динамики с помощью МКЭ возможна на основе формулировки (3.34). Формальное отличие от рассматриваемого выше решения задачи статики [см. (3.941) состоит в определении приведенных инерционных нагрузок системы. Для этого отдельно рассмотрим лишь третье слагаемое в (3.34). Воспользуемся аппроксимацией перемещений в пределах элемента, такой же как (3.96), тогда, выполнив интегрирование в пределах отдельного элемента, получим *

Так, функция е2 выражается через перемещения второй формулой (7.49). Для того чтобы выразить еа через узловые перемещения, примем, что в пределах элемента U( и ип изменяются по линейному закону, т. е. воспользуемся аппроксимацией:

Решение задач динамики с помощью метода Рэлея—Ритца (или МКЭ) возможно на основе формулировки (1.25). Формальное отличие от рассмотренного выше уравнения задачи статики (1.32) состоит в определении приведенных инерционных нагрузок системы. Для этого отдельно рассмотрим лишь последнее слагаемое в (1.25). Воспользуемся аппроксимацией перемещений такой же, как (1.27), тогда, выполнив интегрирование по объему, получим

При решении задачи методом перемещений воспользуемся аппроксимацией w, удовлетворяющей главным граничным условиим w(0) =w'(0) =0, и примем по (1.174)

N — осевая сжимающая сила; w,^ — дополнительные перемещения и угол поворота сечения; Q(i) и Мщ — дополнительные реакции. При решении задачи МКЭ воспользуемся аппроксимацией w и 9