Вычисления элементов

Общий случай анизотропии упругих свойств слоя. Композиционный материал, «разбитый» на чередующиеся плоские слои параллельно плоскости 12 (см. рис. 3.11), обладает неоднородностью упругих свойств в направлении 3, перпендикулярном слоям, тогда как вдоль слоев его свойства постоянны. В этом случае задача вычисления эффективных значений упругих констант материала является одномерной и точно решается для произвольного набора толщин и свойств слоев. В силу одномерной зависимости упругих свойств материала от координаты х3 из уравне-

когда задана любая из совокупностей граничных условий (1) или (2), эквивалентность таких двух определений эффективных модулей до сих пор не доказана; однако это предположение обычно принимается интуитивно. Некоторые эвристические соображения будут изложены в данном разделе несколько позже. Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]) . Несколько иное определение (Адаме и До-иер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех типичных геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только х\ и *2, а ЕЗЗ постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2):

Относительно точности эффективных комплексных характеристик нельзя сделать столь же общее заключение. Однако существуют прямые зависимости между точностью упругих и вязкоупругих решений, если вязкоупругое затухание издоили если выполняется соотношение (131). Поскольку для многих структурных композитов в рабочих условиях затухание мало [46], этот случай практически весьма важен, и мы используем его для того, чтобы предложить упрощенный метод вычисления эффективных комплексных характеристик композитов по упругим решениям. Пусть F — какой-либо эффективный упругий модуль или податливость. Тогда для композита с N характеристиками фаз pj (j = 1, 2, . . . , N) можно записать F = F(pj).

Некоторые примеры вычисления эффективных комплексных модулей были даны Хашином для гранулированных [46] и волокнистых [47, 48] композитов как при предположении о малости затухания, так и без этого предположения. Рисунки 9 и 10 показывают зависимости от частоты вещественных и мнимых частей комплексных модулей продольного сдвига GA = G'A + iG" полиизобутилена (при температурах выше Tg), армированного жесткими параллельными волокнами. График зависимости комплексного модуля сдвига (v2 = 0) от частоты взят из приведенных кривых, построенных Тобольским и Катсиффом [117]. Эти характеристики были получены с использованием упругого модуля сдвига GA для так называемой модели цилиндрического массива [45] :

Общий случай анизотропии упругих свойств слоя. Композиционный материал, «разбитый» на чередующиеся плоские слои параллельно плоскости 12 (см. рис. 3.11), обладает неоднородностью упругих свойств в направлении 3, перпендикулярном слоям, тогда как вдоль слоев его свойства постоянны. В этом случае задача вычисления эффективных значений упругих констант материала является одномерной и точно решается для произвольного набора толщин и свойств слоев. В силу одномерной зависимости упругих свойств материала от координаты х3 из уравне-

Значение колебательной мощности в вибрационных исследованиях. Вибрационное поле сложной конструкции приходится описывать многомерными векторами и матрицами. По мере увеличения размерности системы эти характеристики становятся все менее наглядными и достоверными, не дают прямой и достаточно точной оценки наиболее общих, энергетических свойств вибрационного процесса. Например, при решении задач виброзащиты стремятся минимизировать сумму средних квадратов виброскоростей в заданных точках сложной системы. Из-за резкого различия частотных характеристик (импеданса) энергетический «вклад» отдельных слагаемых неравномерный в отличие от однородной акустической среды, имеющей одинаковое волновое сопротивление в разных точках. Поэтому в виброакустике нельзя ограничиваться измерением средних квадратов, необходимо развивать точные методы измерения колебательной мощности [6]. Эти методы позволяют дать простую и наглядную оценку акустической мощности, излучаемой системой; помогают определить утечку колебательной энергии в опоры, т. е. демпфирующие свойства опор; уточнить критерии виброзащиты. Суммарный поток колебательной энергии, или активную колебательную мощность, Na используют для вычисления эффективных частотных характеристик, которые, несмотря на некоторую условность, являются наиболее обоснованным результатом усреднения характеристик системы в отдельных точках [2, 11]. В диффузных вибрационных полях, возбуждаемых случайным шумом, потоки энергии являются основными расчетными величинами (10].

При исследовании механического поведения композиционных материалов хорошим приближением являются модели сред с периодической структурой. Предполагается, что в элементарном макрообъеме таких сред поля деформирования являются периодическими, т.е. для расчета структурных напряжений и деформаций и вычисления эффективных свойств можно рассматривать периодические задачи, принимая во внимание, что осредненные по ячейкам периодичности напряжения должны быть равны заданным макроскопическим. В настоящее время разработаны эффективные методы решения периодических задач [29, 71, 204], используемые в механике композитов.

В механике композитов для вычисления эффективных свойств известны различные схемы расчета по методу самосогласования [115, 130, 142, 340, 296]. Впервые такая схема была разработана А. Хершеем [339] и Б. Крекером [351] применительно к описанию поведения поликристаллических материалов. Такие материалы однофазны, но благодаря случайной ориентации анизотропных кристаллитов в них существуют скачкообразные изменения свойств при переходе через границы структурных элементов.

В работе [16] В. В. Новиковым на основе структурного подхода [17] и метода поэтапной квазигомогенизации [18] предпринята попытка сузить вилку Хашина—Штрикмана. Для некоторых типов конкретных моделей структуры (типа куб в кубе) получена более узкая вилка, которая достаточно хорошо охватывает экспериментальные данные. Проблема вычисления модулей композитов не решается определением верхних и нижних оценок. Разработано много методов приближенного вычисления эффективных характеристик. Для этого необходимо конкретизировать структуру композита.

Для вычисления эффективных материальных тензоров с учегом старших корреляций нужно просуммировать ряды из интегральных операторов с ядрами, равными произведениям функций Грина дифференциальных операторов теории упругости. Это удается сделать [34], если ограничиться

В модели 1 — наиболее общей из рассматриваемых — относительно Bij и ац не делается никаких предположений. Это линейная по 2 кинематическая модель оболочки с нежесткой нормалью вида (2.38). Эффективные жесткости ИСЭ оболочки вычисляются по формулам (1.55). Модели 2 и 3 — это соответственно модели типа Тимошенко и Кирхгофа — Лява. Для вычисления эффективных жесткостей ИСЭ используются формулы (3.22).

При этом из формул (44.10)— (44.14) следует, что для вычисления элементов матриц В1*, d° и компонент вектора Sfe необхо-

Пояснения к таблице. Для вычисления элементов сегмента круга радиуса, отличного от 1, достаточно по известному значению центрального угла сегмента а найти в таблице соответствующее ему значение искомого параметра и это значение умножить на величину радиуса при нахождении I, h и с и на квадрат радиуса при вычислении S.

• Основная трудность при решении подобных задач связана с большим порядком рассчитываемых матриц, составляющим от 40 до 100. Так как процесс построения динамической матрицы жесткости является весьма трудоемким и многоэтапным, возможны ошибки при измерении параметров, необходимых для вычисления элементов матрицы, и при самих вычислениях. Это приводит к тому, что вычисленные матрицы могут оказаться на самом деле неположительно-определенными и при расчете на ЭЦВМ не дают положительного спектра собственных частот, который ожидается теоретически.

Для вычисления элементов матрицы [Н] необходимо найти вектор {ц/о}'

Таким образом, для вычисления элементов c!k матрицы С следует вектор-строку (а^,...,а!п) матрицы А с номером i скалярно умножить на вектор-столбец (Ь^, ..., bnfc) матрицы В с номером k. Важно, что число столбцов матрицы А должно совпадать с числом строк в матрице В, т.е. размеры сомножителей должны быть согласованы. Например,

личных сопряжениях. В табл. 1 приведен пример трех сопряжений, взаимосвязь которых конструктивно обусловлена вертикальными упругими связями, накладывающими ограничения на разрыв угла поворота Д&в в сопряжении В и вызывающими появление в сопряжении С дополнительного осевого усилия Д7У и пропорционального ему скачка момента АЖС = = &N&2- Для вычисления элементов блока а„ здесь необходимо в ототчие от предыдущих случаев рассмотреть дополнительно уравнение неразрывности осевых перемещений по замкнутому контуру ABCDA. При большой лзгибной жесткости участков АВ и ВС это уравнение имеет вид

Матрица [ф ] имеет порядок аХа и, хотя и является симметричной, требует обычно весьма большого объема оперативной памяти ЭВМ. Практически удобно вместо операций над ней ограничиться составлением алгоритма вычисления элементов фг-у. В частности, если представить интеграл (9.23) в виде сумм

Процедура MATRIX является вспомогательной и используется для вычисления элементов матрицы Г и вектора правых частей V системы линейных алгебраических уравнений (1.60). Элементы матрицы Г и вектора V размещены в соответствующих глобальных массивах G(6,6) и U(6). Текст процедуры MATRIX может быть записан в виде:

Таким образом, для определения компонент матрицы [/С1 и вектора Q0 с помощью изложенного метода необходимо на интервале [х0, xt ] решить п + 1 задачу Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (9.46) первого порядка, т. е. снизить объем вычислений в (п/2 + 1) раз по сравнению с формальным способом вычисления элементов матрицы [/(] и компонент вектора Q0.

Для вычисления элементов матрицы жесткости k стержня предположим сначала, что узел / получил_ единичное перемещение в положительном направлении оси х, в то время как узел / остался неподвижным (рис. 3.6, б). В соответствии с физическим смыслом сила Р.-, создающая такую деформа-

Рекомендуем ознакомиться:

Вычисляют соответствующие

Вогнутыми поверхностями

Вольфрамовых концентратов

Вольфрамовой проволоки

Выбранного материала

Волнистость поверхности

Волновыми сопротивлениями

Волочения проволоки

Волокнами диаметром

Волокнами ориентированными

Волокнистые композиционные

Волокнистых композиционных

Меню:

Главная страница Термины