Вычисления интеграла

Полученные в гл. 2 зависимости для локальных и интегральных параметров закрученного потока можно использовать только для расчета изотермических течений. Однако и в этих случаях они не позволяют вычислить некоторые важные характеристики. Более широкими возможностями обладают методы, основанные на решении интегральных соотношений импульсов в совокупности с граничными условиями и эмпирическими уравнениями для некоторых интегральных параметров потока (законы трения и теплообмена, формпараметры потока) . Кроме того, интегральные методы являются наиболее удобным инженерным средством для- вычисления характеристик течения и теплообмена при наличии комплекса воздействий (неизотермичность, закрутка, вдув и т. д.) .

Остановимся подробнее на способе задания множества (ая, 3Я) (п — 1, . . ., N) пробных ориентации. Число N таких ориентации ограничено, так как его увеличение приводит к пропорциональному росту времени расчетов. Для достижения максимальной точности вычисления характеристик манипулятивности, направления (ая, Р„) должны быть равномерно распределены в полном телесном угле 4 тт.

При построении совокупности точек Е„ приходится сочетать два противоречивых требования: одинаковости площадей областей Гя и близости их формы к шаровому сегменту. Обоим этим требованиям предельно удовлетворяют лишь области, определяемые вершинами правильных многогранников, но число граней таких многогранников недостаточно для вычисления характеристик манипулятивности. В [3] для равенства площадей Ги сфера делилась на шаровые пояса равной площади; однако при этом расстояния между соседними точками Еа сильно варьировались. Здесь с целью уменьшения вариабельности этих расстояний допускается некоторый разброс величин площадей Гя.

Остановимся подробнее на способе задания множества (ая, 3Я) (п — 1, . . ., N) пробных ориентации. Число N таких ориентации ограничено, так как его увеличение приводит к пропорциональному росту времени расчетов. Для достижения максимальной точности вычисления характеристик манипулятивности, направления (ая, Р„) должны быть равномерно распределены в полном телесном угле 4 тт.

При построении совокупности точек Е„ приходится сочетать два противоречивых требования: одинаковости площадей областей Гя и близости их формы к шаровому сегменту. Обоим этим требованиям предельно удовлетворяют лишь области, определяемые вершинами правильных многогранников, но число граней таких многогранников недостаточно для вычисления характеристик манипулятивности. В [3] для равенства площадей Ги сфера делилась на шаровые пояса равной площади; однако при этом расстояния между соседними точками Еа сильно варьировались. Здесь с целью уменьшения вариабельности этих расстояний допускается некоторый разброс величин площадей Гя.

Моменты третьего и четвёртого порядка служат для вычисления характеристик асимметричности (асимметрия S^) и крутости (эксцесс ЕЬ)

Способ вычисления характеристик процесса, необходимых для отыскания ТРВ, Аъ А2 зависит от дискриминанта Д характеристического уравнения непрерывной части системы (VII. 115).

Для вычисления характеристик переходного процесса пере-

Известно несколько программ типа стандартных для вычисления характеристик временных рядов. Программа, разработанная в институте технической кибернетики АН ЭССР [52], оформлена в виде библиотеки подпрограмм для анализа временных рядов и предназначена для вычислений на ЭВМ «Минск-2». Библиотека состоит из ряда управляющих (вспомогательных) и рабочих (стандартных) подпрограмм. Ее построение позволяет использовать лишь необходимые подпрограммы, которые можно считывать с магнитной ленты в оперативную память машины. Подготовка исходных данных заключается в составлении таблицы информации, содержащей: количество начальных данных, число точек вычисляемой функции и номер вспомогательной программы для данной задачи. Библиотека позволяет: 1) контролировать вводную информацию путем сопоставления введенной и вычисленной суммы элементов случайной последовательности; при несоответствии сумм необходимо дополнительно проверить отперфорированный массив; в этом случае неверный массив выводят на печать; 2) исключить периодическую составляющую или тренд; реальные процессы обработки характеризуются разбросом исследуемых значений, поэтому для их аппроксимации используют метод наименьших квадратов; для этого реализацию разделяют на участки, которые приближаются по очереди и к кривым второго порядка; полученные ординаты_ выражаются как оценки уточек математического ожидания X(t); разности ординат Xi—X(ti) (i=l, 2, ... N) исключают тренд; 3) вычис-

2.2. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГОСТИ

2.2. Формулы для вычисления характеристик упругости 41

При /=0 во всех точках, где #=^0, имеем ДГ=0. В точке /?=0 при /=0 имеем ДГ-»-оо. В правильности выбора постоянного множителя в уравнении (6.1) можно убедиться путем вычисления интеграла, выражающего полное количество введенной теплоты во всем объеме бесконечного тела. Это количество в любой момент времени равно Q, так как тело в данном случае не отдает теплоты в окружающее пространство. Распределение температуры при распространении теплоты от мгновенного источника теплоты, приложенного в точке О на поверхности полубесконечного тела (рис. 6.1), аналогично (6.1) для бесконечного

то процедуру вычисления интеграла по стандартной программе можно сделать циклической, варьируя значения I и /.

Простота алгоритма и небольшой объем программы обусловливают целесообразность выполнения обычной линейной процедуры вычисления интеграла: сначала формируется истинная подынтегральная функция /t, fj, а затем происходит обращение к стандартной программе.

Рассмотрим для примера простейшую схему, в которой для вычисления интеграла (1.45) используют две точки: т/ и ту+1. Для ее реализации необходимо сначала построить первое приближение значения Т (т) в точке т;-+1 — и. Его находят, используя значения / (TJ, и'), по явной формуле Эйлера,

Здесь оценки производной вычисляются 4 раза: в точке т,, дважды в точке ij + Дт/2 и в точке т,-+1, а для вычисления интеграла используется квадратурная формула Симпсона.

Линейные многошаговые методы. При построении многошаговых схем, как и в схемах Рунге — Кутта, будем исходить из равенства 0-45). Однако для приближенного вычисления интеграла применим другой прием, а именно на основе значений функции / (т, и) в k

При более общем подходе на отрезке la, b\ выбирается (N + 1) узел {xi }^+' , и приближенную формулу для вычисления интеграла (2.20) записывают в виде

т. е. погрешность вычисления интеграла на одном элементарном интервале [xt, Xt+l] пропорциональна h3.

Для определения погрешности вычисления интеграла на отрезке [о, Ь] следует провести суммирование по всем подынтервалам:

Программное обеспечение для вычисления интегралов. Для численного интегрирования имеется достаточно обширное программное обеспечение. Разумеется, для того, чтобы реализовать вычисления по формуле прямоугольников (2.21) или по формуле Симпсона (2.24) с заданным шагом А, нет необходимости в поиске соответствующей стандартной подпрограммы, так как их нетрудно запрограммировать и самому. Ниже в качестве учебного примера (рис. 2. 12) приводится подпрограмма вычисления интеграла по методу Симпсона, которая будет использована далее при реализации аналитического решения (2.13). Необходимые для ее понимания сведения даны в комментариях к тексту. Отметим лишь, что среди формальных параметров подпрограммы присутствует имя подпрограммы — функции F (х), задающей подыинтегральное выражение, поэтому в вызывающей программе это имя должно быть описано в операторе EXTERNAL.

-126 С ПОДПРОГРАММ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

Рекомендуем ознакомиться:

Выбранное положение

Вольфрама температура

Вольфрамовыми волокнами

Вольфрамового электрода

Вольтметр показывает

Волнистости поверхности

Волнового сопротивления

Волочении проволоки

Волокнами материалы

Волокнами термопластов

Волокнистые материалы

Выбранного технологического

Меню:

Главная страница Термины