Вынужденных колебаниях

Как известно, уравнение (17.12) является уравнением простейших вынужденных гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид

В заключение данной главы следует упомянуть о расчете вынужденных гармонических колебаний вала. Следует различать два случая: демпфированный вал и недемпфированный.

которое является одновременно уравнением амплитуды колебаний фо диска с моментом инерции &„р, укрепленного на защемленном валу с коэффициентом жесткости k, возбуждаемого гармоническим моментом с амплитудой М-, и частотой vox Расчет вынужденных гармонических колебаний диска с маятниковым поглотителем является относительно простым. Достаточно ввести вместо момента инерции диска приведенный момент инерции, определяемый формулой (б.ЭОа).

динамические параметры дроссельного привода. Влияние сухого трения на динамику дроссельного привода зависит от характера сигнала управления. При вынужденных гармонических колебаниях золотника с малой амплитудой на вход нелинейного звена, содержащего сухое трение (рис. 6.20), поступает синусоидальный гармонический сигнал. При этом условии, применяя гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики сухого трения [86], запишем на основании уравнения (6.11) систему уравнений движения дроссельного привода в таком виде:

Структурная динамическая схема дроссельного привода с учетом сухого трения для режима гармонических колебаний на основании системы (6.16) представлена на рис. 6.21 и 6,22. Структурная схема (рис. 6.22) показывает, что при вынужденных гармонических колебаниях дроссельный привод можно представить передаточной функцией (6.15) с увеличенным коэффициентом относительного демпфирования, зависящим от амплитуды скорости нагрузки:

Приведенное определение справедливо для любых значений Q. Добротность показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных гармонических колебаний при резонансе превышает амплитуду при частоте, много меньшей резонансной, при одинаковой амплитуде возмущающей силы.

Как известно, уравнение (17.12) является уравнением простейших вынужденных гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид

Метод решения задачи о вынужденных гармонических колебаниях стержневой системы под действием распределенных и сосредоточенных нагрузок основывается на использовании спектральных свойств (форм и частот свободных колебаний) отдельных стержней.

Уравнения, к которым сводится задача о вынужденных гармонических колебаниях стержня, записывается в единой операторной форме

Установившиеся колебания при гармоническом возмущении. В линейной демпфн рованиои системе, подверженной гармоническому возмущению частоты ш, возникает режим установившихся вынужденных гармонических колебаний той же частоты По гармоническому закону будут изменяться также смещения и силы во всех сече ниях системы При этом процессы Xj (t), Pt (t), (j = 1,2, .. , п) удобно представить в комплексной форме

где u)B — действительная угловая частота внешних нагрузок, а дополнительная температура равна нулю. Тогда уравнения вынужденных гармонических колебаний многослойных оболочек вращения описываются системой (11.56) — (11.59), где

ниями являются колебания, то их называют свободными колебаниями. Движение q** , которое возникает благодаря наличию вынуждающей силы, зависящей явно от времени, и к которому в пределе стремится суммарное движение, называют вынужденным движением (в случае колебаний говорят о вынужденных колебаниях).

*) Задача о вынужденных колебаниях системы двух колебательных контуров типа Ван-дер-Поля в условиях гироскопической свя:)и с применением приведенного здесь метода решалась Дельшамбром [17J.

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студентов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране); вынужденные колебания груза на пружине; задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости; прибор Прингсхейма; колебания связанных осцилляторов.

Этот случай начальных условий имеет место, когда при вынужденных колебаниях стержня действующие на него силы в момент времени TO становятся равными нулю. Начиная с этого момента времени стержень совершает свободные колебания при начальных условиях

Определив из (5.43) CQ и См, получаем решение уравнения (5.39) при установившихся вынужденных колебаниях. Произвольные постоянные CQ и См линейно зависят от векторов Р0(1) и То(1), т. е.

дением. На рис. 7.21, а в качестве примера колебаний с кинематическим возбуждением показан стержень, сечение которого при e=efe имеет заданное гармоническое перемещение. Если мысленно отбросить устройство, через которое осуществляется принудительное перемещение сечения К, то на стержень при колебаниях действует некоторая неизвестная сила Р(т) (рис. 7.21,6). В результате имеем задачу о вынужденных колебаниях стержня, нагруженного сосредоточенной периодической силой. Аналогичная задача, только >при действии сосредоточенного момента Т (т;), была рассмотрена ранее.

Если б мало по сравнению с единицей, то наибольшая амплитуда вынужденных колебаний во много раз превышает статическое отклонение Х0. Прослеженная нами на частном примере зависимость амплитуды вынужденных колебаний от соотношения между ш и со0 оказывается характерной для так называемых резонансных эффектов, наблюдаемых при вынужденных колебаниях разнообразных колебательных систем. Возрастание амплитуд вынужденных колебаний в области, где ю близко к ю0, представляет собой наиболее типичную черту явления резонанса. Кривые, подобные изображенной на рис. 388, называются амплитудными резонансными кривыми.

От результатов, полученных нами для амплитуды и фазы смещения при вынужденных колебаниях, можно перейти к амплитудам и фазам скорости и ускорения. Когда вынужденные колебания являются гармоническими, то амплитуда скорости

Системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называют линейными системами, а описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями — нелинейными. Таким образом, собственные колебания являются гармоническими только в линейных колебательных системах и только к линейным системам относится все сказанное выше о собственных и вынужденных колебаниях.

«Устойчивость формы» гармонических колебаний в линейной системе обнаруживается при рассмотрении задачи о вынужденных колебаниях (§ 140). Уравнение (17.19) описывает поведение линейной колебательной системы, находящейся под действием гармонической внешней силы; линейность системы выражается в том, что

Но, как видно из (17.22), коэффициент пропорциональности между амплитудой смещения X какой-либо гармоники вынужденного колебания и амплитудой F0 той же гармоники внешней силы при Ь большом, a m и k малых существенно зависит от частоты со рассматриваемой гармоники; вместе с тем, как видно из (17.23), от ш существенно зависит и угол сдвига фаз qx Следовательно, искажения формы негармонической внешней силы принципиально неизбежны и в линейной колебательной системе с большим затуханием, и в апериодической системе. Таким образом, всякая линейная система в той или иной степени искажает форму негармонической внешней силы, воспроизводя эту форму в вынужденных колебаниях.