Вычисление интегралов

Вычисление интеграла Мора целесообразно вести по правилу, предложенному А. Н. Верещагиным в 1925 г. для прямолинейных брусьев.

Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина обычно называют методом перемножения эпюр. Эпюра Мгр называется грузовой эпюрой, а эпюра Mzi — единичной.

Заметим, что направление движения по пути интегрирования не имеет никакого отношения к направлению движения материальных точек. Вычисление интеграла является чисто математической операцией. Например, в правой части формулы (25.14) направление движения при интегрировании совпадает с действительным движением точки. Однако нам ничто не мешает поставить перед интегралом знак минус и вычислить его, двигаясь вдоль пути в противоположном направлении.

которое выражает закон сохранения энергии для системы материальных точек в таком же смысле, как (25.14). Применение закона (25.53) для конкретных случаев движения системы материальных точек значительно сложнее, чем для отдельной материальной точки, даже если имеются только потенциальные силы. Это, в частности, связано с тем, что работа внутренних сил не обязательно равна нулю и не может быть вычислена в общем виде. Наиболее простым является движение твердого тела во внешних достаточно однородных потенциальных полях. В этом случае кинетическая энергия в левой части (25.53) слагается из кинетической энергии движения центра масс и энергии вращения твердого тела (см. § 33), работа внутренних сил в правой части равна нулю, а работа внешних сил выражается интегралом по пути движения центра масс. Учет неоднородности потенциального поля значительно усложняет вычисление интеграла в правой части (25.53).

Никаких принципиальных затруднений не вызывает и численное интегрирование по контуру с целью определения /4 и /2. Вычисление /-интеграла дает примерно такую же точность, что и метод виртуального роста трещины [165, 1911.

Вычисление интеграла Мора целесообразно выполнять графоаналитическим методом, называемым правилом Верещагина.

А, cos б и вычисление интеграла -----dS2 выполняются так же, как в пре-

которое является уравнением относительно rm. Вычисление интеграла в уравнении (2.4.111) выполняется при известной геометрии тела г = == г (t). Так, для конуса г ~ (R/lE)vct и уравнение имеет вид

Вычисление интеграла (14-40) представляет значительные трудности и поэтому, помимо аналитических методов, применяют графические, описанные в специальных руководствах. В сложных случаях угловые коэффициенты можно определять экспериментально при помощи оптической проекции.

Вычисление интеграла j pdv возможно, если известна зависи-

§ 2. Правило Верещагина Вычисление интеграла Мора вида (19.2) целесообразно выполнить графоаналитическим способом, называемым правилом Верещагина.

При исследовании и проектировании механизмов закон изменения скорости входного звена может быть задан функциями io(
Программа содержит 29 операторов. Дадим некоторые пояснения к ней. Оператор 4 (см. программу) обеспечивает вычисление функций, являющихся в формуле (II 1.3. 5) подынтегральными функциями. Операторы 5 — 14 обеспечивают вычисление интегралов по заданной программе, имеющей код «ил».

При исследовании и проектировании механизмов закон изменения скорости входного звена может быть задан функциями w(cpi) или u(S) обобщенных координат ф] и S. В этом случае необходимо вычисление интегралов:

4. Способ Верещагина. Вычисление интегралов Мора упрощается, если хотя бы одна из перемножаемых эпюр М1 и М.г очерчена прямой линией. Пусть MI — криволинейная эпюра, а М.2 — прямолинейная и М2 = а + bz. Тогда, обозначив площадь крн-

Теперь видно, что, рассматривая две схемы (рис. 7.9, в, г) порознь, мы должны будем в первой из них решать систему из двух уравнений относительно неизвестных Х\ и Х2, а во второй лишь одно — относительно Х3. Если бы мы не разделили нагрузку на симметричную и кососимметричную, то в схеме рис. 7.9, б пришлось бы решать систему из трех совместных уравнений (относительно Хг, Х2 и Х3), да и само вычисление интегралов осложнилось бы.

Выражения для усредненных на базе / компонент матрицы податливости двух совместно работающих слоев получаются при подстановке зависимостей (4.9)—(4.11) в выражение (3.10) с учетом их изменений при повороте системы координат. При наличии синусоидальной формы искривления волокон формулы для расчета усредненных компонент матрицы податливости совместно работающих слоев получаются весьма сложными. Вычисление интегралов может быть выполнено лишь с помощью ЭВМ. Замена синусоидальной формы искривлений волокон ломаной линией, как показывает сравнительный анализ, не вносит большой погрешности в значения упругих постоянных материала, но значительно

Вычисление интегралов /1; /2 и 70 по участкам (6) дает

Вычисление интегралов, входящих в выражения (4) и (5), в общем случае осуществляется приближенно, причем сначала вычисляется интеграл

Выражения для усредненных на базе / компонент матрицы податливости двух совместно работающих слоев получаются при подстановке зависимостей (4.9)—(4.11) в выражение (3.10) с учетом их изменений при повороте системы координат. При наличии синусоидальной формы искривления волокон формулы для расчета усредненных компонент матрицы податливости совместно работающих слоев получаются весьма сложными. Вычисление интегралов может быть выполнено лишь с помощью ЭВМ. Замена синусоидальной формы искривлений волокон ломаной линией, как показывает сравнительный анализ, не вносит большой погрешности в значения упругих постоянных материала, но значительно

Вычисление интегралов I — = — и I - производится

Вычисление интегралов делается по правилам перемножения эпюр (см. гл. III). Первый числитель: эпюра у (s) 5 (s) умножается на эпюру ш' (s). Второй числитель: эпюра х (s) 5 (s) умножается на эпюру ш' (s). Знаменатели: эпюра_y(s)6(i') умножается на эпюру у (s), аналогично эпюра х (s) 5 (s) умножается на эпюру ,v(s).