Вязкоупругих операторов

Недостаток знаний о характере; разрушения в концевой зоне трещины может компенсироваться разумным моделированием структуры края трещины. Из рис. 39.1 видно, что нелинейно деформированный, частично разрушенный материал сосредоточен в у.чкой области перед вершиной трещины. Это позволяет при моделировании края трещины заменить концевую область разрезом на продолжении трещины, находящимся под действием равномерно распределенных самоуравновешенпых напряжений (см. рис. 4.1), т. е. использовать у тс изложенную в § 7 8„-модель. Напомним, что в о„-модели напряжения 0„ в концевой области считаются постоянными и рапными либо сопротивлению отрыва, либо пределу текучести материала. Однако это предположение будучи справедливым для упругих и упругопластических материалов, не выполняется для ряда вязкоупругих материалов из-за реономности их свойств. Например, при разрушении полимеров, таких как полиметилметакрилат (ПММА), напряжения в концевой области существенно меняются с ростом трещины, однако размер концевой зоны меняется при этом незначительно (а в довольно широком диапазоне скоростей роста трещины практически постоянен). Полое того, как следует из экспериментов, и форма концевой области для трещины, растущей в ПММА, не зависит от длины трещины, т. е. имеет место автомоделыюсть.

Отметим, что в этом случае EJE^ = 1 + А/р1. В таблице 39.1 приведены значения Р^/Р* для некоторых полимерных вязкоупругих материалов.

Если функционал отклика линеен, то его можно представить интегралом от исходного входного данного и отклика, зависящего от истории одного предварительно выбранного воздействия. При исследовании вязкоупругих материалов это воздействие обычно выбирают (так удобнее всего) в виде единичной ступенчатой функции Я:

Щ веденная кривая, представляющая собой график функции Д?>(?), вместе с зависящими от температуры величинами DI, ат и OG дает возможность в общем случае описать неизотермическое поведение вязкоупругих материалов.

Исследованиям в этой области положил начало Кемпнер [59], описавший поведение стержней при помощи простой модели из упругого и вязкого элементов. Выпучивание слоистых вязкоупругих материалов подробно изучал Био [12]. При помощи квазиупругого метода это явление исследовалось для резиновых стоек [41] и для пластиковых подпорок [82]. В обоих случаях наблюдалось хорошее согласование теоретических и экспериментальных результатов для критического времени выпучивания.

Первая из этих проблем теоретически исследована в работе Стройка [113], в которой получены удобные для применения приближенные уравнения для вычисления комплексных модулей по характеристикам свободных колебаний в произвольных линейных вязкоупругих образцах. Предлагается также метод оценки точности полученного решения. Один из важных результатов относится к точности самих уравнений, обычно используемых для определения комплексных модулей; эти уравнения выводятся из элементарного дифференциального уравнения свободных колебаний, получающегося из соответствующего уравнения для упругого материала при замене упругих постоянных комплексными модулями и податливостями. Хотя в большинстве случаев такое уравнение не является точным, Стройк установил, что для вязкоупругих материалов с малыми тангенсами углов потерь, таких, например, как аморфные полимеры при температуре ниже Те, эта элементарная теория дает результаты, хорошо согласующиеся с истинными характеристиками.

В разд. III, наибольшем по объему из всех разделов этой главы, изучаются задачи о плоской конечной деформации. Здесь поясняются некоторые подробности методов решения. Краевые задачи в перемещениях можно решать чисто кинематически, не пользуясь ни развернутыми гипотезами относительно связи напряжений с деформациями, ни даже уравнениями равновесия. В краевых задачах в напряжениях и в смешанных краевых задачах необходимо постулировать определенные зависимости, описывающие поведение материала под действием касательных напряжений. Для простоты мы ограничимся исследованием упругого сдвига или квазиупругого поведения пластических или вязкоупругих материалов. Основы теории разд. III заимствованы из работы Пипкина и Роджерса [26].

Для вязкоупругих материалов S будет, вообще говоря, сложным образом зависеть от истории изменения k. Однако и в этом случае поведение материала будет квазиупругим, если процесс деформирования осуществляется мгновенно и в последующие моменты времени деформации не меняются. Тогда напряжения зависят от фиксированного значения k и от времени, прошедшего после деформирования. Мы можем, следовательно, считать S функцией от k, зависящей от времени как от параметра.

Выводы, сделанные в [37], неприменимы, когда длина трещины или протяженность зоны разрушения а сравнима с шагом упаковки или диаметром волокон. В этих случаях единственный практический способ расчета длины трещины на основании реальных свойств материала, по-видимому, заключается в применении прямого численного подхода. Для выполнения подобных расчетов весьма полезным методом является алгоритм FFT. Решение контактной задачи в случае вязкоупругости требует анализа подобного'типа. Этот вопрос изложен в [38], поэтому здесь подробно не рассматривается. Ограничимся лишь некоторыми результатами, полученными на упругих материалах, чтобы продемонстрировать возможную точность метода. Остальные результаты для упругих и вязкоупругих материалов и теоретическое обоснование их точности будут приведены в следующем сообщении. Рассмотрим частную задачу о вычислении коэффициента интенсивности напряжения для бесконечно длинного массива трещин, периодически расположенных вдоль оси х.

Ниже при рассмотрении исследования моделей из вязкоупругих материалов будет показано еще одно преимущество тарировки на самой исследуемой модели. В линейно вязкоупругих материалах картина изохром изменяется со временем таким образом, что отношение порядков полос для любых двух точек в поле наблюдения остается постоянным. Тарировка на специальных тариро-вочных образцах требует тщательного изучения изменения свойств материала во времени. Тарировка же на исследуемом образце автоматически исключает влияние времени.

Модель, описываемая этим уравнением, иллюстрирует основные характерные свойства вязкоупругих материалов. Мгновенная упругость характеризуется членом i/Gi, замедленная упругость описывается членом (1 — e<~-G2

Метод, излагаемый ниже {32, 37], позволяет решать широкий класс динамических задач теории вязкоупругости при произвольном виде ядер вязкоупругих операторов, определяющих связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций. Этот метод удобен при его численной реализации на современных ЭВМ.

Далее, так как метод Вольтерра для решения данных задач неприменим (уравнения с переменными коэффициентами), то будем применять метод интегрального преобразования Лапласа по t или метод рядов в случае произвольных ядер вязкоупругих операторов.

По известным значениям смещения v(y, t) нетрудно получить выражения для величины напряжения ауу (у, t), которые учитывают влияние как вязких характеристик материала, так и его неоднородность, при этом получаемые результаты весьма удобны для численной реализации на ЭВМ при произвольных ядрах вязкоупругих операторов.

причем ядра вязкоупругих операторов в общем виде задаются выражениями (1.22).

Вначале рассмотрим случай, когда ядра вязкоупругих операторов f(t) и f2(t) имеют вид (2.62) и длина импульса нагружения по времени меньше наименьшего времени релаксации материала.

При произвольных видах ядер вязкоупругих операторов задачу удобнее решать методом рядов (см. разд. 2.2).

Вначале исследуем случай, когда ядра вязкоупругих операторов зависят от конечного числа дискретных времен релаксации и время протекания волновых процессов намного меньше наименьшего времени релаксации п.

В случае произвольных ядер вязкоупругих операторов задачу будем решать методом рядов.

2. Если ядра вязкоупругих операторов произвольны, то решение задачи можно строить методом рядов.

Рассмотрим осесимметричную задачу о воздействии импульса вращения на поверхность двухкомпонентного вязкоупругого слоя толщины h. При этом будем предполагать, что материал слоя описывается одним ядром вязкоупругих операторов, которое имеет вид (2.62).

fi(t) — ядра вязкоупругих операторов, принимаются равными