Вариационные формулировки

Рассмотрим программу* оптимизации двухступенчатого цилиндрического редуктора, выполненного по развернутой схеме. В качестве варьируемого параметра рассматриваем распределение передаточных чисел между быстроходной ик и тихоходной и\ ступенями редуктора при заданном общем Мрсд. Изменение в распределении передаточных чисел между ступенями характеризуется отношением мн/мт.

На рис. 2-4 и 2-5 показано изменение технико-экономических показателей процесса при конвертерном производстве стали в зависимости от свободно варьируемого параметра А/ — температурного перепада конвертерных

Изменение технико-экономических показателей на рис. 2-6 и 2-7 показано в зависимости от свободно варьируемого параметра At\ — температурного перепада дымовых газов в рекуператоре. При A/i = 0 (при отсутствии рекуператора) рассмотрен вариант максимального использования ВЭР в утилизационной установке (использование физического тепла уходящих газов в котле-утилизаторе для выработки пара). При одинаковых основных технических характеристиках процесса (одинаковых расходах топлива, к. п. д. нагревательной печи,

где ' ^ ~ граничные соответственно минимальное и максимальное значения г'-го варьируемого параметра. Собственный спектр любого параметрически варьируемого варианта расчетной модели в рассматриваемом случае может определяться с указанной точностью по формулам (16.28), (16.29). В общем случае пространство варьируемых параметров может быть районировано путем выделения в нем нескольких (d) смежных областей с базовыми векторами Р„, „ s = 1, ..., d, удовлетворяюшими условию

где PJ, PJ — текущее и нижнее (минимальное) значения /-го варьируемого параметра. Задачу параметрического синтеза с произвольным критерием эффективности Д(Р) на основе изложенного в § 14 можно записать как задачу нелинейного программирования с линейными ограничениями при знакопостоянных значениях варьируемых параметров:

Как было показано выше (см. рис. 1.8), каждая система машин-автоматов может быть построена по различным структурным вариантам — от автоматической линии с жесткой межагрегатной связью (одноучастковой) до автоматической линии с гибкой связью или поточной линии, где число участков-секций «у равно числу последовательно соединенных по технологическому процессу машин-автоматов q (1 ^ Пу ^ q). Наиболее просты по конструкции линии с жесткой межагрегатной связью (rty = 1), которые целесообразно принимать в качестве базовых. Любое структурное усложнение линии с делением ее на участки и установкой межоперационных накопителей связано с повышением производительности линии (ф > 1,0), ее стоимости (о > 1) и увеличением количества обслуживающих рабочих (е > 1). Задачу оптимизации решают следующим образом: сначала находят функциональные зависимости роста производительности, стоимости количества рабочих от варьируемого параметра — числа участков Пу, т. е. функции ф = /^ (пу); 0 = = /а (ЯУ); е = /з (пу); затем подставляют эти функциональные значения в общую экономико-математическую модель (3.7) и тем самым получают однопараметриче-скую функцию Э = /4 (йу), которую можно решить путем нахождения экстремального значения «у опт. соответствующего максимальному экономическому эффекту

хранятся полученные корни; Ъ — массив размерности га; k — массив коэффициентов варьирования; s — номер варьируемого параметра; а — массив 2га рабочих ячеек (в обращении стоят адреса ячеек, (содержащие данные величины).

где дл — числа Соболя; j — номер эксперимента (12 экспериментов); i — номер координаты исследуемого пространства (размерность равна 8); xfm, х™ах — предельные значения варьируемого параметра.

б) в качестве варьируемого параметра, при котором происходит разрушение материала, для термической усталости выбирают деформацию за цикл е при непрерывном чередовании теплосмен для ползучести — напряжение а.

ной формы базового параметрического варианта расчетной модели в рассматриваемой локальной области варьирования; 1рн), р'в* — граничные (минимальное и максимальное) значения 1-го варьируемого параметра; т — число варьируемых параметров.

жа от варьируемого параметра НЭП (2.1,23) имеет ВИД

Целью настоящей статьи является анализ проблемы теплоотдачи при вынужденном движении (проблемы Грэтца) с учетом вязкой диссипации и внутреннего тепловыделения с помощью вариационного метода. Вариационные методы и раньше использовались для решения ряда задач теплообмена [3,]. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что основное дифференциальное уравнение чаще всего является самосопряженным. Вариационные формулировки обычно могут быть построены по образцу принципа Гамильтона, который приводит к уравнениям Эйлера — Лагран-жа. Можно использовать также хорошо известные методы Рэлея —

Были предложены также вариационные формулировки для несамосопряженных уравнений теплопередачи. Например, уравнение нестационарной теплопроводности было недавно рассмотрено Био [5] и другими авторами [6] посредством введения диссипа-тивной функции. Следуя этому вариационному методу, методу Рэлея — Ритца или их эквивалентам, нельзя свести данную задачу непосредственно к системе алгебраических уравнений. В этом случае задача сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Как будет показано в настоящей статье, поставленная выше задача о теплообмене может быть сформулирована в виде вариационного принципа без введения диссипативной функции. Это можно сделать с помощью свертки. Недавно свертка была использована для вариационных методов в других областях математической физики Гэртином [7, 8] и Тао [9]. Основываясь на этой вариационной формулировке и используя метод Рэлея — Ритца, поставленную задачу можно свести к системе алгебраических уравнений. С другой стороны, используя приближение, аналогичное предложенному Био, можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В обоих случаях легко может быть найдено приближенное решение.

В этом разделе получены две вариационные формулировки задачи о теплообмене при вынужденной конвекции в трубе произвольного поперечного сечения с заданной температурой стенки или градиентом температуры на стенке. Они полностью эквивалентны дифференциальным уравнениям с соответствующими граничными условиями. В последующих разделах эти вариационные формулировки используются для решения нескольких частных задач.

Большой интерес к вариационным формулировкам задач деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа составления уравнений равновесия статическим методом и приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным допущениям и определяются единственным образом. Кроме того, вариационные формулировки являются основой для эффективных приближенных методов расчета, которые позволяют получить на выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энергетическом смысле приближенные решения.

В гл. 3 с единых позиций принципа возможных перемещений рассмотрены формулировки задач статики, устойчивости и динамики. Полученные уравнения в вариациях для упругих консервативных систем являются голономными и представляют условия стационарности соответствующих функционалов, записанных в перемещениях. Вид самих функционалов в большинстве случаев не приводится, поскольку для дальнейшего решения необходимы лишь вариационные формулировки. В общем случае показано, как с использованием этих формулировок удается получить разрешающие дифференциальные уравнения или приближенные решения.

Для толстостенных трехслойных оболочек с податливым слоем заполнителя при исследовании локальных краевых эффектов в окрестности приложения сосредоточенных сил и закреплений, а также при коротковолновых формах потери устойчивости и колебаний расчет проводят с учетом деформаций поперечного сдвига и сжатия в слое заполнителя. Наиболее простая модель, позволяющая в первом приближении учитывать указанные деформации, может быть получена с использованием предположения о линейном законе распределения всех компонент вектора перемещений по толщине заполнителя [11]. Рассмотрим основные соотношения и вариационные формулировки решения задач статики, устойчивости и колебаний, соответствующие данной модели.

4.2.5. Вариационные формулировки задач термовязкоуп-ругости (Н.Г.Пакичкин) . . .

4.2.5. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ

ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ

Для краевой задачи связанной теории термоупругости в [115] предложены вариационные формулировки, соответствующие принципам минимума потенциальной энергии системы, Кастильяно, Хеллингера-Рейсснера и Ху-Вашицу, причем в функционалы с помощью свертки явно включены начальные условия. Наиболее удобно для решения краевых задач использовать принцип минимума потенциальной энергии системы или принцип Лагранжа для полей перемещений и температуры, который состоит в следующем [21].

- нестационарная в крутой трубе 200 Термовязкоупругость - Вариационные формулировки задач 192-194 - Динамические задачи 187-190 - Основные уравнения 185-187