Вариационных принципах

--• упругие — Вариационные уравнения Ла-

В настоящей монографии приведены результаты численного и экспериментального исследования термоползучести гибких пологих замкнутых, открытых и подкрепленных в вершине оболочек вращения переменной толщины, выполненных из изотропных и анизотропных материалов, обладающих неограниченной ползучестью. В главе I дан краткий анализ подходов к решению задач изгиба и устойчивости тонких оболочек в условиях ползучести. Глава II посвящена построению вариационных уравнений технической теории термоползучести и устойчивости гибких оболочек и соответствующих вариационной задаче систем дифференциальных уравнений, главных и естественных краевых условий, разработке методики решения поставленной задачи. Вариационные уравнения упрощены для случая замкнутых, открытых и подкрепленных в вершине осесимметрично нагруженных пологих оболочек вращения, показаны некоторые особенности алгоритма численного решения. Результаты решений осе-симметричных задач неустановившейся ползучести и устойчивости замкнутых, открытых и подкрепленных в вершине сферических и конических оболочек постоянной и переменнсгй толщины приведены в главе III. Рассмотрено также влияние на напряженно-деформированное состояние и устойчивость оболочек при ползучести высоты над плоскостью, условий закрепления краев (при постоянном уровне нагрузки), уровня и вида нагрузки, дополнительного малого нагрева, подкрепления внутреннего контура кольцевым элементом. Глава IV посвящена численному исследованию возможности неосе-симметричной потери устойчивости замкнутых в вершине изотропных и анизотропных сферических оболочек в условиях ползучести. Проведено сопоставление теоретических и экспериментальных данных.

Вариационные уравнения решаем методом Ритца. Для проверки предпосылок, на основе которых строятся математическая модель и методика численного анализа ползучести и устойчивости гибких пологих оболочек вращения, сопоставляем результаты расчетов с данными экспериментальных исследований.

Для решения конкретных задач целесообразно использовать вариационные уравнения (11.20), (11.27), а не системы дифференциальных уравнений (11.21), (11.28). Основным преимуществом уравнений (11.20), (11.27) является отсутствие производных (первого и второго порядка) от параметров, определяющих неоднородность и физическое состояние материала и зависящих сложным образом от конечных величин искомых функций. Необходимость вычисления этих производных осложняет численную реализацию решения систем дифферен-

6. ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ

7. ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОТКРЫТЫХ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ В ВЕРШИНЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

6. Вариационные уравнения для замкнутых в вершине оболочек вращения..........35

7. Вариационные уравнения для открытых и подкрепленных в вершине оболочек вращения.....37

Для нахождения экстремальных значений критериев Я, [г, а2 необходимо решить соответствующие вариационные уравнения. Уравнения экстремалей имеют вид [4]:

где ш — пробные функции во внутренней области трещинного элемента, щ — заданное граничное перемещение в соответствии с (3.3) и Я/ — множители Лагранжа, обеспечивающие условие (3.7). В дополнение к (3.6) — (3.8) имеем такие вариационные уравнения:

Некоторые дополнительные соображения по рассмотренному вопросу изложены в ([210], стр. 123). Там же рассмотрены экстремальные принципы, двусторонние оценки, различные вариационные уравнения (в том числе вариационное начало комплексного варианта теории оболочек).

Таким образом, смешанную вариационную формулировку задачи статики можно представить в следующем виде. Требуется найти такую пару вектор-функций и и о, для которых при любых допустимых возможных перемещениях би и напряжениях бо выполняются вариационные уравнения

182. Морозов Е. М.,-Фридман Я. Б., Полак Л. С. О вариационных принципах развития трещин в твердых телах.— ДАН СССР, 1964, т. 156, № 3, с. 537—540.

295. Фридман Я. В., Морозов Е. М. О вариационных принципах для механического разрушения.— Изв. вузов, машпностроенпе, 1962, № 4, с. 5fi—71.

Для модуля объемного сжатия полученные границы совпадают с границами Хилла. Другие интересные результаты, основанные на вариационных принципах, приводятся в работах [129, 163 — 165, 170, 172, 173].

Результаты, основанные на вариационных принципах, точны, но обладают большим недостатком: верхние и нижние границы слишком далеки одна от другой. Попытки сузить их путем статистической информации имели ограниченный успех (см. разд. IV). Если исследовать под микроскопом типичный боро-эпоксидный или бороалюминиевый волокнистый композит, то станет очевидным, что структуру таких композитов можно моделировать регулярной укладкой идентичных включений в неограниченную матрицу, содержащую упорядоченную систему волокон с круговыми поперечными сечениями, как показано на рис. 3. Ради удобства материалы матрицы и включений будем считать изотропными.

Сопоставление функционалов в вариационных принципах Лаг-ранжа и Менабреа — Кастильяно при решении пространственной задачи теории упругости выполнено в §§ 15.20 и 15.21.

16. Болотин В, В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости. В кн.: Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л., «Судостроение», 1973, с. 83—88.

99. Морозов Е.М., Полак Л.С., Фридман Я.Б. О вариационных принципах развития трещин в твердых телах. - Л.: Изд-во АН СССР, 1961. -Т.139.-С.1230-1235.

182. Морозов Е. М.,-Фридман Я. Б., Полак Л. С. О вариационных принципах развития трещин в твердых телах.—ДАН СССР, 1964, т. 156, № 3, с. 537—540.

295. Фридман Я. Б., Морозов Е. М. О вариационных принципах для механического разрушения.— Изв. вузов, машиностроение, 1962, № 4, с. 56—71.

2. О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ В ТЕОРИИ ТРЕЩИН

32. Морозов Е. М., Полак Л, С,, Фридман Я- Б. О вариационных принципах развития трещин в твердых телах—«Доклады АН СССР», 1964, т. 3,. К° 3, с. 537—540.