Вариационным принципом

Предлагаемая вниманию читателя книга В. Прагера — одного из основоположников теории оптимального проектирования конструкций (широко известного также своими фундаментальными работами в теории пластичности), посвящена результатам в данной области, полученным за последнее десятилетие. Главная их часть основана на использовании в оптимальном проектировании конструкций классических вариационных принципов. Непосредственное применение методов вариационного исчисления к оптимальному проектированию конструкций приводит лишь к необходимым условиям стационарности оптимизируемого параметра, не гарантируя его локальной или глобальной минимальности (или максимальности). Достаточные условия оптимальности в ряде случаев можно получить, используя для рассматриваемого класса конструкций соответствующий вариационный принцип.

Можно сразу отбросить некоторые неподходящие оценки, получив границы для значений эффективных модулей при помощи вариационных принципов. Для гранулированных композитов такие границы будут найдены в разд. IV, А, а для волокнистых композитов — в разд. IV, Б.

Вариационные принципы классической теории упругости впервые применил к гранулированным композитам, по-видимому, Поль [125]. Существенные результаты в этом направлении были получены также в работах Хашина и Штрикмана [74—78], Хашина [66, 69—71] и Хилла [84, 85]. В данном разделе будет продемонстрировано применение классических вариационных принципов.

Наиболее важной характеристикой неоднородного материала, возможно, является его эффективная постоянная Б*. Подобно величинам {ф} и #пф, эта постоянная зависит от статистической информации всех порядков, содержащейся в поле в"(х). К счастью, при помощи вариационных принципов можно найти границы для е*, используя только статистическую

Для исследования гармонических упругих волн в композиционной среде Кон с соавторами [37] использовали методы, основанные на теории Флоке и Блоха. Этот подход весьма подробно рассмотрен также в статье Ли [40]. Основная идея всех этих работ состоит в применении вариационных принципов в интегральной форме к отдельной ячейке композита. Эти вариационные принципы дают способ определения фазовых скоростей и распределения напряжений в волнах Флоке, распространяющихся в композиционной среде без изменения формы при переходе от ячейки к ячейке. Различные авторы использовали как принцип минимума потенциальной энергии деформации, так и принцип максимума дополнительной работы.

§ 15.2. Вариационное исчисление и связь его с проблемами механики 439 § 15.3. О возможности формулирования вариационных принципов теории упругости............................ 450

15.13. Аналогия вариационных принципов................ 494

В главах XV и XVI обращено внимание на формулирование основных фундаментальных вариационных принципов механики деформируемого тела, на их дуальность и вытекающую из нее дуальность методов сил и перемещений. Примеры, приведенные в главе XVI, призваны помочь читателю уяснить механический смысл вопросов. Алгоритмический же и вычислительный аспекты вопроса, в том числе в связи с использованием ЭВМ при расчете сложных конструкций, обсуждается, из-за ограниченности объема книги, лишь в общих чертах и даются указания на литературные источники, где этот аспект освещен подробно. Думается, что даже такое знакомство с новыми вопросами расширит кругозор читателю, а указания на основные литературные источники будут способствовать этому.

§ 15.3. О возможности формулирования вариационных принципов теории упругости

§ 15.31 О ФОРМУЛИРУЕМОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ 451

О ФОРМУЛИРУЕМОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей1).

Обратим внимание на связь условия (24.12) с вариационным принципом Лагранжа теории упругости. В § 4 (см. (4.5)) было установлено, что

Для изучения роста трещин в средах такой реологии воспользуемся, например, интегральным вариационным принципом для упругого тела (4.10).

4. Вариационный принцип Кастильяно. Если положить, что вариации внешних сил равны нулю, то принцип возможных изменений напряжений принимает вид Ш' =0. Отсюда следует, что из всех возможных изменений напряжений (усилий) совместности деформаций соответствуют те, при которых дополнительная работа принимает стационарное значение. Сформулированный принцип называется вариационным принципом Кастильяно 1).

1) Наряду с вариационным принципом Кастильяно можно было бы сформулировать и вариационный принцип, полностью симметричный вариационному принципу Лагранжа, если ввести в рассмотрение функционал Я', и условию стационарности которого придать вид 6Я'=0, 6(/' — 6Л'=0. Варьирование ведется по внешним силам и внутренним усилиям (случай дискретной системы) или внешним силам и напряжениям (случай сплошной среды).

Если система консервативна, то из (17.40) получаем частный случай, который, в отличие от общего принципа Гамильтона, будем называть вариационным принципом стационарности действия по Гамильтону. Происхождение этого названия станет ясным из приводимой ниже информации.

Вариационное условие (2.43) или (2.44), выраженное через начальные напряжения а?, а}, ..., t°y, -..с помощью зависимостей типа (2.45) или (2.46), назовем энергетическим критерием устойчивости (вариационным принципом) в форме Брайана.

В соответствии с вариационным принципом Лагранжа эта величина должна равняться нулю при т) ^ 0 и при произвольной, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям функции а>)1 (х, у). Отсюда следует:

В тех случаях, когда относительная толщина слоистой оболочки (рис. 4.17) значительна и (или) материал некоторых слоев обладает пониженной жесткостью при поперечном сдвиге, теория оболочек, построенная на основе гипотез Кирхгофа — Лява, приводит к существенным погрешностям в результатах расчетов. Для расчета оболочек разработан ряд вариантов уточненных теорий, построенных на гипотезах, отличных от гипотез Кирхгофа-Лява. При изложении простейших методов расчета, основанных на уточненных моделях деформирования слоистых пластин и оболочек, воспользуемся вариационным принципом Рейсснера [40, 44, 46].

Воспользуемся рассмотренным вариационным принципом и применим его к слоистым ортотропным оболочкам. Запишем в развернутом виде интегральное (по толщине многослойного пакета) условие (4.185):

Вариационный принцип Гамильтона (общий случай). Общее уравнение динамики Даламбера—Эйлера является вариационным принципом механики, выраженным в дифференциальной форме. Важнейшим интегральным вариационным принципом аналитической механики является принцип Гамильтона, который может быть выведен из общего уравнения динамики. Пусть все связи, наложенные на систему, — идеальные. Уравнение (17) принимает вид