Вариационной формулировке

Результат (8.13) также называют принципом Гамильтона — Остроградского, однако следует иметь в виду, что это уже не вариационная формулировка, а лишь утверждение, что этот интеграл равен нулю. В самом деле, выделяя в обобщенных силах консервативные силы

Вариационная формулировка условий устойчивости упругого тела может быть получена двумя различными способами (см. § 5). Первый способ основан на определении условий, при которых в окрестности начального невозмущенного состояния равновесия может существовать новое возмущенное состояние равновесия, т. е. на определении вариационным методом точек бифуркации начального состояния равновесия. Второй способ связан с непосредственным исследованием устойчивости начального состояния равновесия с помощью теоремы Лагранжа.

Особенность предлагаемой книги состоит в последовательном изложении теоретических и прикладных аспектов расчета и оптимизации термоизоляции энергетических установок. В качестве теоретической основы постановки рассматриваемых задач теплопроводности в термоизоляции используется их вариационная формулировка, позволяющая применить приближенные аналитические и численные методы решения и оценить точность получаемых при этом результатов расчета, что имеет большое значение для инженерной практики, особенно в связи с необходимостью устанавливать пределы применения различных эмпирических формул, рекомендуемых в справочной литературе.

В окончательном виде вариационная формулировка условия равновесия шпангоута (4.158) будет выглядеть следующим образом:

рота сечений заполнителя г)^, х,\>, а также углы поворота нормалей $i, ft;. Вариационная формулировка (5.28) позволяет получить выражение для узловых реакций элемента {t} : {t} = [К] {q} - {Р},

Вариационная формулировка (5.66) задачи статики с использованием соотношений (5.62) — (5.64) позволяет получить разрешающие уравнения в перемещениях и граничные условия.

Краевая задача в ее вариационная формулировка. Пусть' для рассматриваемой краевой задачи поведение искомой функции w(x, у, z) внутри заданной ограниченной области V описывается некоторым дифференциальным уравнением 2 т-го порядка:

Вариационная формулировка данной задачи будет содержать функционал

Вариационная формулировка осесимметричной задачи термоупругости будет содержать функционал

Из (1.85) следует также вариационная формулировка задачи, если принять w (М) = дТ (М), причем в точках N ? Slf в которых согласно (1,66) задана температура поверхности тела, температура не варьируется, т. е. 6J1 (А/) = 0. С учетом равенств T,i$T,i = = б (T,tT,i)/2, qv&T = 8 (qvT), ТдТ = 8 (Т2)/2 и /2бТ = б (ДГ) из (1.85) получим, что при вариации температуры бТ относительно истинного распределения Т* (М)

i =?z j и бие) = tr/(3G). Тогда с учетом равенств оги = а и еи == = е — оу'(9/С) (см. § 1.4) получим е',р) = е — о/[1/(9/С) + 1/(3G)]. Поскольку согласно (1-42) 1/(9/С) + 1/(3G) = НЕ, для получения зависимости сти (е?р)) необходимо абсциссы точек сплошной кривой на рис. 1.5 уменьшить на Ае' = е<е> = а/Е, что соответствует кривой, изображенной штрих-пунктирной линией, которая при ej,p) = О имеет ординату огт, равную пределу текучести, если диаграмма растяжения содержит четко выраженный линейный упругий участок. При простом нагружении тела, когда во всех его точках все компоненты девиатора напряжений изменяются пропорционально одному возрастающему параметру, вариационная формулировка (1.114), (1.115) сохраняет силу и при неупругом поведении материала, но вместо (1.113) следует либо использовать (1.122), либо в подынтегральное выражение (1.113) добавить член

ния (2.47) можно перейти к экстремальной вариационной формулировке стационарной задачи теплопроводности в неоднородном анизотропном теле произвольной формы, включающей функционал

Были предложены также вариационные формулировки для несамосопряженных уравнений теплопередачи. Например, уравнение нестационарной теплопроводности было недавно рассмотрено Био [5] и другими авторами [6] посредством введения диссипа-тивной функции. Следуя этому вариационному методу, методу Рэлея — Ритца или их эквивалентам, нельзя свести данную задачу непосредственно к системе алгебраических уравнений. В этом случае задача сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Как будет показано в настоящей статье, поставленная выше задача о теплообмене может быть сформулирована в виде вариационного принципа без введения диссипативной функции. Это можно сделать с помощью свертки. Недавно свертка была использована для вариационных методов в других областях математической физики Гэртином [7, 8] и Тао [9]. Основываясь на этой вариационной формулировке и используя метод Рэлея — Ритца, поставленную задачу можно свести к системе алгебраических уравнений. С другой стороны, используя приближение, аналогичное предложенному Био, можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В обоих случаях легко может быть найдено приближенное решение.

Эта задача (без учета внутреннего тепловыделения и вязкой диссипации) была рассмотрена Грэтцем и рядом других авторов [1, 2]. Решение находим в виде ряда по собственным функциям задачи. Несколько первых собственных значений и соответствующих собственных функций были вычислены с достаточно высокой степенью точности. Если температуру находим в виде разложения по соответствующим ортогональным функциям, то точное решение может быть получено также и с помощью приведенного здесь вариационного метода аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе. Однако здесь мы получим только приближенное решение, основанное на вариационной формулировке задачи. Из уравнения (6) получаем выражение для функционала / (6), которое в безразмерной форме имеет вид

После выполнения подготовительных операций приступим к вариационной формулировке задачи статики. Рассмотрим кольцевой элемент оболочки вращения, нагруженный внешними поверхностными нагрузками и реакциями отброшенных частей. Для получения разрешающих .уравнений воспользуемся принципом возможных перемещений. Чтобы считать независимыми переменными как коэффициенты вектора обобщенных перемещений {X}, так и коэффициенты вектора производных (Y), введем с помощью множителей Лагранжа {\i} условие связи (4.112), записанное для возможных перемещений, тогда

задачи термопластичности не удается дать вариационную формулировку, которая бы содержала функционал с известными экстремальными свойствами. В частном случае описания неупругого поведения материала при помощи деформационной теории термопластичности в рамках предположения о простом нагружении (см.п.4.5.1) эта связь становится однозначной, материал можно рассматривать как нелинейно-упругий и в вариационной формулировке задачи использовать функционал [28]

Для нелинейно-упругого материала (1.111) также приводит к вариационной формулировке задачи, но выражение для Ф (ut) зависит от конкретной формы связи между компонентами atj (М} и е,-7- (М)

Функционал в вариационной формулировке этой задачи для линейно-упругого изотропного материала согласно (1.113) и (1.115) примет вид

Функционал (1.115) при вариационной формулировке (1.114) осесимметричнои задачи термоупругости согласно (1.113) и (6.56) примет вид

В случае нелинейно-упругого материала тела в вариационной формулировке задачи (1.114) вместо (1.113) следует использовать (1.122). Тогда МКЭ для решения задачи термоупругости можно применить в нескольких модификациях, но каждая из них реализуется при помощи последовательных приближений. Процедура последовательных приближений зависит от того, каким образом при варьировании функционала по узловым значениям перемещений представляют в (1,122) вариацию интеграла

компонентов перемещений иг неоднозначна, для рассматриваемой задачи термопластичности не удается дать вариационную формулировку, которая бы содержала функционал с известными экстремальными свойствами. В частном случае описания неупругого поведения материала при помощи деформационной теории пластичности в рамках предположения о простом нагружении (см. § 1.5) эта связь становится однозначной, материал можно рассматривать как нелинейно-упругий и в вариационной формулировке (1.114) использовать функционал (6.77). Реализация такого подхода изложена в § 6.4.

После выполнения подготовительных операций приступим к вариационной формулировке задачи статики. Рассмотрим кольцевой элемент оболочки вращения, нагруженный внешними поверхностными нагрузками и реакциями отброшенных частей. Для получения разрешающих .уравнений воспользуемся принципом возможных перемещений. Чтобы считать независимыми переменными как коэффициенты вектора обобщенных перемещений {X}, так и коэффициенты вектора производных (Y), введем с помощью множителей Лагранжа {\i} условие связи (4.112), записанное для возможных перемещений, тогда