Вариационной формулировкой

теплообмена эквивалентны задачам отыскания функций, доставляющих минимум некоторым специально сконструированным функционалам. Задача на отыскание функции, минимизирующей функционал, называется вариационной. На основе перехода от краевых дифференциальных задач к вариационным развиты многие приближенные аналитические методы решения задач теплопроводности. С ними можно познакомиться по книгам [3, 6, 11]. Отметим, что возможность вариационной формулировки задачи определения температурного поля (4.1), (4.2) обусловлена свойствами дифференциального оператора уравнения теплопроводности [11]. Мы приведем вариационную формулировку рассматриваемой краевой дифференциальной задачи (4.1), (4.2) без доказательства. Задача решения уравнения (4.1) с граничными условиями (4.2) эквивалентна задаче определения функции Т (х, у), минимизирующей функционал 1[Т (х. у)] вида

Во второй главе задача расчета термоизоляции сведена к решению соответствующей задачи теплопроводности при принятых условиях теплообмена с окружающей средой или теплоносителем с учетом (в общем случае) зависимости теплофизиче-ских характеристик термоизоляторов от температуры. Дана математическая формулировка задач теплопроводности в дифференциальной и интегральной (в частности, в вариационной) формах для теплоизоляционной конструкции в виде неоднородного анизотропного тела произвольной формы, и рассмотрены основные методы решения таких задач. На основе вариационной формулировки задачи теплопроводности построены двойственные оценки таких важных интегральных характеристик теплоизоляционной конструкции, как ее термическое сопротивление, проходящий через нее суммарный тепловой поток, средние температуры поверхностей теплообмена.

Для тел сложной формы метод интегральных преобразований сохраняет силу, если удается построить полную систему собственных функций и определить соответствующие им собственные значения. Это принципиально выполнимо на основе вариационной формулировки соответствующей однородной задачи или применения метода конформных отображений области сложной формы на более простую [21].

Наличие двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности на основе функционалов (2.48) и (2.50) позволяет получить интегральную оценку погрешности приближенного решения по разности [12] д J = J(T) - J(T, q). Чем ближе приближенные распределения температуры Тп и компонентов qv1' плотности теплового потока к истинным распределениям, тем ближе между собой значения J(T) и J(T, q) и меньше 52

Помимо оценки погрешности приближенного решения наличие вариационной формулировки задачи позволяет получить двойственную оценку (сверху и снизу) некоторых важных интегральных характеристик, связанных с температурным состоянием тела. Пусть в (2.48) Л<П> = X {j (Р), Тп = Г(Р) и qn = qn(P) =

Способ разделения неоднородного тела на однородные части изотермическими или адиабатическими поверхностями (или их комбинацией), как это было сделано в рассмотренном случае при задании допустимых для функционалов (2.71) и (2.72) распределений температуры и вектора плотности теплового потока соответственно, нашел широкое применение при определении эффективной теплопроводности неоднородных материалов со сложной структурой [5]. Анализ получаемых при этом формул для А,из и А.ад введением соответственно изотермических и адиабатических поверхностей показывает, что всегда А.из ^ А.ад. Эквивалентность этого способа двойственным оценкам термического сопротивления неоднородного тела на основе вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности дает возможность строго обосновать правомерность такого результата. Кроме того, использование вариационного подхода при более близких к реальным неодномерных допустимых распределениях температуры и плотности теплового потока позволяет более точно определить эффективную теплопроводность неоднородных материалов и одновременно оценить максимально возможную погрешность получаемого результата.

линейных систем. В качестве исходной вариационной формулировки

Окончательный вид вариационной формулировки (4.138) для n-й гармоники разложения можно представить следующим образом: д

Учитывая связь деформаций с перемещениями (4.209), с помощью вариационной формулировки задачи (4.205) легко получить разрешающие уравнения. Для того чтобы считать компоненты векторов {X} и {У} независимыми, дополним (4.205) условиями связи (4.208):

Для получения вариационной формулировки воспользуемся принципом возможных перемещений (5.26). Отдельного рассмотрения требует выражение для работы внутренних сил, при преобразовании которого необходимо принимать во внимание соотношения упругости, представленные для материала обшивок в форме (5.29):

Приближенное аналитическое решение данной задачи можно также получить на основе ее вариационной формулировки, содержащей функционал [28]

В случае необходимости произвести оценку влияния предварительного нагружения на частоты и формы гармонических колебаний можно воспользоваться вариационной формулировкой (3.41). Тогда при решении задач с помощью МКЭ приходим к разрешающей системе алгебраических уравнений вида

Для получения канонической системы воспользуемся вариационной формулировкой условий равновесия в форме (5.28), которую дополним условием связи [см. (5.32) ]:

Для определения Т, приняв для удобства Тп = 0, воспользуемся вариационной формулировкой задачи теплопроводности. На истинном распределении Т* (М), М ? F функционал (1.88) в виде

В случае необходимости произвести оценку влияния предварительного нагружения на частоты и формы гармонических колебаний можно воспользоваться вариационной формулировкой (3.41). Тогда при решении задач с помощью МКЭ приходим к разрешающей системе алгебраических уравнений вида

Для получения канонической системы воспользуемся вариационной формулировкой условий равновесия в форме (5.28), которую дополним условием связи [см. (5.32) ]:

Воспользовавшись смешанной вариационной формулировкой (1.82), (1.83), запишем

Для получения жесткостных характеристик стержневого конечного элемента ферменной конструкции воспользуемся вариационной формулировкой принципа возможных перемещений. Рассмотрим цилиндрический многослойный стержень (рис. 3.2).

Составим подпрограмму вычисления матрицы жесткости для нзгнбного конечного элемента цилиндрического многослойного полого стержня. Воспользуемся вариационной формулировкой задачи (3.74) и функциями формы (3.79). Согласно (3.74) получим

Для получения матрицы жесткости конечного элемента и вектора приведенных узловых сил воспользуемся смешанной вариационной формулировкой задачи, аналогичной (1.82), (1.83). Тогда с учетом (3.95) для отдельного конечного элемента запишем:

Для построения квазиодномерного конечного элемента пластины воспользуемся вариационной формулировкой принципа возможных перемещений, аналогичной (4.31), записанной для отдельного элемента

Для исследования гармонического движения системы относительно начального напряженного состояния воспользуемся линеаризованной вариационной формулировкой (2,146), дополненной работой сил инерции,