Вариационное исчисление

Существуют два основных численных метода решения уравнений в частных производных: метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они отличаются способами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов — на эквивалентной вариационной постановке задачи.

Помимо учтенных выше факторов важную роль играет оптимизация законов движения, при выборе которых в первом приближении следует исключить возможность возникновения жестких и мягких ударов, а также эквивалентных им динамических эффектов (см. п. 10). Более глубокий подход к вопросу? дающий материал не только для сопоставления законов движения, но и их оптимизации при вариационной постановке задачи, возможен на базе динамических критериев (5.93)—(5.96). В случае, если в механизме

МКЭ позволяет получить приближенное решение краевой задачи в вариационной постановке (2.4) - (2.5). При применении этого метода исследуемую область V разбивают на совокупность элементов е объемом Ve так, что

Покажем, что решение задачи нестационарной теплопроводности в вариационной постановке удовлетворяет уравнениям (2.10) — (2.13). Условие экстремума функционала к имеет вид

Численный анализ нестационарных полей температур в элементах конструкций с помощью МКЭ. Рассмотрим методику использования МКЭ в соответствии с соотношениями (2.6) - (2.9) для решения задачи нестационарной теплопроводности в вариационной постановке (2.11) — (2.14). Разобьем исследуемую область на совокупность элементов (рис. 2.28). Аппроксимируем температурное поле t внутри элемента е в каждый фиксированный момент времени г в соответствии с выражением (2.8) узловыми значениями tm (т = 1, ... , пе~) :

В настоящей работе решен цикл новых задач выбора динамически оптимальных законов движения механизмов по различным критериям в вариационной постановке [11—19]. При решении этих задач использованы как методы, связанные с интегрированием уравнения Эйлера для функционала, соответствующего выбранному критерию оптимального движения, так и прямые вариационные методы.

ближении функций. Требование минимума средних интегральных значений критериев динамического режима естественно приводит к вариационной постановке проблемы.

' Устойчивость интегральных вариационных критериев создает возможность использовать для реализации расчетных законов движения не только кулачковые, но и шарнирно-рычажные механизмы и, кроме того, открывает возможности для эффективной корректировки разрывных законов движения достаточно гладкими функциями. Оба эти обстоятельства существенны .для практики расчета и проектирования передаточных механизмов. Отдельные задачи выбора динамически оптимальных законов в вариационной постановке рассмотрены в работах [23], [33].

В настоящей работе решен цикл задач по выбору динамически оптимальных законов движения механизмов с одной степенью свободы в вариационной постановке по различным критериям. Все решенные задачи разбиты на две группы: к первой группе относятся задачи, в которых закон движения ведущего звена полагается известным <и цель расчета заключается в динамической оптимизации движения ведомого звена по силовым или энергетическим критериям; ко второй группе относятся задачи; в которых закон движения отыскивается из условий минимума динамических критериев, характеризующих режим работы 'механизма в энергетическом отношении, причем скорость ведущего звена неизвестна, а известны силы, приложенные к механизму.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ МЕХАНИЗМОВ В ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ НА БАЗЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

Глава II. Решение задач динамической оптимизации механизмов в вариационной постановке на базе прямой задачи динамики..........23

Разработаны многочисленные методы решения задачи оптимизации при различных видах целевой функции, уравнений связи и типах ограничений, которые условно можно подразделить на две группы: а) классические (метод дифференциального исчисления, метод множителей Лагранжа, вариационное исчисление): б) метод математического программирования (методы линейного и нелинейного программирования, метод динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.).

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (от лат. va-riatio — изменение) — раздел математики, посвящённый нахождению наибольших и наименьших значений функционалов — перем. величин, зависящих от выбора одной или неск. функций. В. и. широко используется для решения ряда задач физики, техники, экономики.

§ 15.2. Вариационное исчисление и связь его с проблемами механики 439 § 15.3. О возможности формулирования вариационных принципов теории упругости............................ 450

§ 15.2] ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ 43!^

§ 15.2. Вариационное исчисление и связь его с проблемами механики

Курс вариационного исчисления, изд. второе переработанное.—М.: Гостехиздат, 1950; Б лисе Г. А. Лекции по вариационному исчислению. Пер. с англ. Солнцевой Ю. К. под ред. Эльсгольца Л. Э. —М.: ИЛ, 1950; Э л ь с г о л ь ц Л. Э. Вариационное исчисление.—М.: Гостехиздат, 1952. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению.—М.: Гостехиздат, 1955; Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление.—М.: Физматгиз, 1961.

§ 15.2] ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ 44Г

§ 15.2] ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ443

§ 15.2] ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ 445

§ 15.2] ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ447

§ 15.2J ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ 449