Вариационного исчисления

42. Вариационное уравнение для решения динамических задач механики трещин.........................................................................................................323

§ 42. Вариационное уравнение для решения динамических задач механики трещин

При разгрузке имеем вариационное уравнение

При разгрузке имеем вариационное уравнение где для вязкопластического тела

и содержать достаточное число свободных параметров Сп, варьируя которые, можно было бы с любой степенью точности выполнить вариационное уравнение (1.3.16) или (1.3.20). Корректирующий тензор учитывает физико-механические свойства материала, тепловое воздействие и другие факторы.

и содержать достаточное число свободных параметров АСП, варьируя которые можно было бы выполнить вариационное уравнение (1.3.19) или (1.3.23) [в зависимости от физико-механических свойств материала]. С помощью корректирующего тензора учитываются свойства материала при разгрузке, изменение температуры и другие внешние факторы.

и вариационное уравнение, приведенное в § 3, гл. 1, выбираемое в соответствии с физико-механическими свойствами и состоянием материала сферы в момент t = 3 (r2 — /i)/a0. Здесь Q^ и Qffl — функции нагрузок, которыми характеризуется распределение напряжений, скоростей и внешних нагрузок на поверхностях сферы.

где AQ'f, — функции нагрузок, и вариационное уравнение (см. § 3 гл. 1), взятое в соответствии с состоянием исследуемой области, при этом компоненты тензора А (Т) берутся в форме общего решения (2.5.2) уравнений равновесия.

где AxQJf, = Тнагр <-2 — функции нагрузок, и вариационное уравнение (см. § 3 гл. 1), взятое в соответствии с состоянием материала в области возмущений отраженной волны нагрузки.

где QU =- (рЛ,% - л, <&', = (роЧ9)г„ Q?ie, = Роо2„ (&1, = = р0асду* — функции нагрузок, и вариационное уравнение (см. § 3 гл. 1), взятое в соответствии с состоянием материала в области возмущений нагрузки.

где AiQ'f, = Гн?Гр ,-,, и вариационное уравнение (см. §3 гл. 1), взятое в соответствии с состоянием материала в рассматриваемой области возмущений.

Предлагаемая вниманию читателя книга В. Прагера — одного из основоположников теории оптимального проектирования конструкций (широко известного также своими фундаментальными работами в теории пластичности), посвящена результатам в данной области, полученным за последнее десятилетие. Главная их часть основана на использовании в оптимальном проектировании конструкций классических вариационных принципов. Непосредственное применение методов вариационного исчисления к оптимальному проектированию конструкций приводит лишь к необходимым условиям стационарности оптимизируемого параметра, не гарантируя его локальной или глобальной минимальности (или максимальности). Достаточные условия оптимальности в ряде случаев можно получить, используя для рассматриваемого класса конструкций соответствующий вариационный принцип.

§ 4. Элементы вариационного исчисления. Действие по Гамильтону.

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложены элементы вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения.

§ 4. Элементы вариационного исчисления. Действие по Гамильтону. Вариация действия

Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами; мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку).

Уравнения (46) были получены Эйлером и носят название уравнений Эйлера вариационного исчисления.

Мы приводим здесь эту основную теорему вариационного исчисления без доказательств, так как нам предстоит доказать ее в следующем параграфе.

предварительно «перенести пучок» в расширенное координатное пространство, т. е. преобразовать задачу к условиям, при которых выведена формула (60). Первой из этих задач является доказательство так называемого вариационного принципа Гамильтона, т. е. по существу вывод уравнений Эйлера вариационного исчисления. Вторая задача состоит в установлении связей между законами сохранения и инвариантностью уравнений движения по отношению к различным преобразованиям координат и времени. Наконец, третья задача связана с изучением некоторых общих свойств движений в потенциальных полях —с интегральными инвариантами.

подпространством. Для введенного так функционала W уравнения Якоби являются уравнениями Эйлера вариационного исчисления (так же, как уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера вариационного исчисления для действия по Гамильтону). Функционал (148) называется действием по Лагранжу. Из того факта, что уравнения Якоби являются эйлеровыми уравнениями для действия по Лагранжу, сразу следует, что вариация действия по Лагранжу равна нулю на прямом пути:

*) Решение лагранжевых уравнений движения требует знакомства с некоторыми основными выводами вариационного исчисления; поэтому сейчас мы не будем заниматься этим вопросом;

задаче вариационного исчисления при наличии условия типа