Вариационном исчислении

где f^(mnpl) (у = 1, 2, 3, 0) -- известные функции координсп, коюрые определяются по соответствующим формулам [19]. Параметры /1 ,„„,-.,;, ..., Dmnpi при нагрузке находим из условия выполнения вариационного уравнения (1.3.16) или (1.3.20) в зависимости от свойств фиктивного тела, которому соответствует система алгебраических уравнений

Параметры АЛтпрг, ..., А?)тпрг определяются из условия выполнения вариационного уравнения (1.3.19) или (1.3.23) при разгрузке в зависимости от свойств фиктивного тела. Это условие эквивалентно системе алгебраических уравнений

и представим функцию кинетических напряжений в виде Д]П = = AJIW + Д^*), где Ail!^) определяется из граничных условий (3.1.55), а А1П<*) — из граничных условий (3.1.56) и вариационного уравнения (3.1.57).

где AfcQf^) = Qfv) нач — Qfy) —изменения функций нагрузок Q^j в моменты t ~> ?нач, с помощью которых учитываются все изменения напряжений, скоростей частиц и внешних нагрузок на поверхностях сферы, и вариационного уравнения (см. § 3 гл.1), выбранного для рассматриваемого состояния. Граничным условиям (3.4.66) соответствуют функции кинетических напряжений основного тензора

где QJf), Q{f, — функции нагрузок, и выполнении вариационного уравнения (см. § 3 гл. 1), выбранного в соответствии с состоянием среды в области возмущений нагрузки.

Согласно теореме Лагранжа состояние равновесия консервативной механической системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна [40]. Необходимое условие минимума полной энергии записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа

Из вариационного уравнения Лагранжа (2.11) следует, что

Уравнения Эйлера — Остроградского для вариационного уравнения (7.29) представляют собой уравнения Ляме для смещений упругого- тела и, v и w.

соту над плоскостью. В некоторый критический момент времени деформированная оболочка становится неустойчивой (в смысле упругой устойчивости «в большом») и мгновенно (хлопком) переходит в новое, достаточно удаленное от основного состояние. Докритическое деформирование и хлопок происходят осесимметрично. Возможность потери устойчивости определяется наличием нетривиальных решений однородного вариационного уравнения, построенного относительно добавок к искомым функциям, соответствующих переходу оболочки в новое равновесное состояние. Для упрощения решений искомые функции в вариационных уравнениях аппроксимированы полиномами в первом приближении.

Результаты теоретических и экспериментальных исследований ползучести гибких, шарнирно опертых по краю сферических оболочек под действием постоянного внешнего давления приведены в работе [82]. Численные исследования проведены на основе вариационного уравнения смешанного типа, ползучесть материала описана теорией течения. Силы, моменты, перемещения аппроксимированы полиномами с двумя-тремя искомыми параметрами. Использование вариационного принципа [72] приводит к системе дифференциальных уравнений по времени, которые интегрируются методом Рунге — Кут-та. Время потери устойчивости оболочки определяется ло резкому осесимметричному выпучиванию. Описаны методика и результаты экспериментальных исследований ползучести нейлоновых оболочек. Отмечается большой разброс значений критического времени в дублирующих опытах, значительные расхождения в результатах теоретических и экспериментальных исследований.

На основе критерия резкого осесимметричного выпучивания в работах [28, 29] исследована устойчивость пологих конических и сферических оболочек при различных условиях опирания краев. Осесимметричное деформирование и устойчивость гибких оболочек при ползучести изучены на базе вариационного уравнения [27] с использованием теории течения.

Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами; мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку).

В вариационном исчислении устанавливается следующая теорема, определяющая необходимые условия стационарности функционала.

минается минимум необходимых сведений о вариационном исчислении. Далее обсуждаются принципы и теоремы, лежащие в основе статической проблемы механики деформируемого тела, для которой фундаментальными являются понятия равновесия,, совместимости деформаций и физического аспекта напряженно-деформированного состояния. При этом речь идет как об упругой системе, состояние которой характеризуется конечным числом параметров, так и о сплошной упругой среде, описываемой функциями. Определение перемещений в упругой системе, вызванных ее деформацией, вытекает из основного содержания главы^ в связи с чем и этот вопрос рассмотрен именно в настоящей главе.

играет роль, аналогичную роли аргумента в функции. Вариационная проблема для функционала (15.1) х формулируется так: найти функцию у — у(х), при которой t оказывается минимальным. Функция у ищется на множестве функций, обеспечивающих условие прохождения кривых, соответствующих им, через точки Л и В и обладающих непрерывностью и гладкостью. Отмеченные условия определяют класс функций, от которых зависит функционал. Функция у, которой соответствует экстремальное значение функционала, называется экстремалью1}. Экстремаль в вариационном исчислении играет роль, аналогичную выполняемой в обычном анализе значением аргумента функции, при котором последняя имеет стационарное, в частности экстремальное, значение.

Роль вариации бг/ в вариационном исчислении аналогична роли приращения независимого аргумента при изучении функции. Вариация функции бг/ —сама является функцией х.

Обобщение задачи нахождения экстремумов функций для случая нахождения экстремумов функционалов дается в вариационном исчислении. Рассмотрим, например, определенный интеграл

Понятие вариации в вариационном исчислении имеет такое же фундаментальное значение, как и понятие дифференциала в дифференциальном исчислении. Вариацией функции у — у (х) называют допустимое по условиям данной задачи малое изменение этой функции. Вариация функции обозначается 6у (х). Аналогично вводят понятия вариаций первой и высших производных функции: обозначают их соответственно 6у' (х), 6j/" (х), и т. д. Заметим, что (Ъу (х))' = = 6i/' (х), т. е. символ б можно выносить за знак дифференцирования.

Аналогично понятию второго дифференциала функции в вариационном исчислении вводят понятие второй вариации функционала. Для простоты записи в дальнейшем ограничимся случаем, когда функционал зависит только от функции у (х) и ее первых двух производных. Тогда вторая вариация функционала определяется выражением

Как и Н. Е. Жуковский, В. Л. Кирпичев большое значение придавал теоретической подготовке студентов. Еще в Киеве он начал свои беседы о механике. В Петербурге продолжил их, проведя ряд бесед об эллиптических функциях, вариационном исчислении, номографии, оптическом изучении деформаций, уравновешивании машин, теории регуляторов и некоторые другие. Из этих бесед возникли его классические книги: «Беседы о механике», «Основания графической статики» и «Лишние неизвестные в строительной механике», вошедшие в золотой фонд русской научно-технической литературы.

Методы математического программирования можно разделить на аналитические и численные. К первым относятся методы, основанные на дифференциальном и вариационном исчислении, на принципе максимума Понтрягина и на достаточных условиях Кротова и Др.; ко вторым относятся методы, основанные на линейном, динамическом и нелинейном программировании,

Заметим, что приведенные соображения об оптимизации основывались на классическом вариационном исчислении, справедливом лишь в том случае, когда управляющий параметр не выходит на граничные значения области допустимых изменений этого параметра. Только в этом случае можно воспользоваться для оптимального поиска уравнениями Эйлера, каковыми, по существу, являются уравнения (3.213) и (3.218). В более общем случае, когда указанное ограничение не выполняется или когда требуется, например, обеспечить наибольшее (наименьшее) значение какого-либо функционала при ограничениях типа неравенств на другие функционалы, поиск оптимального распределения управляющих